S,| ^^ IS3I
Si Sj et Sa sont de même signe, le paraboloïde est elliptique, et de révolution si Si = S3.
Si S2 et S3 sont de signes contraires, le paraboloïde est hyperbolique ; il est équilatère si 82-1-83 = 0.
191. Supposons que Téquation (i) représente une parabole, c'est-à-dire qu'on ait A = ; dans ce cas l'équation en S a une racine nulle 83 = 0, et une racine non nulle, Sj.
A la racine nulle 83 correspond le plan de la conique,
u^x 4- v^y H- WzZ -h ^3 = 0, pour les coefficients duquel on a
A3 = o, /•;3 = o, ^3 = 0, rr3 = o.
A la racine Sj correspond un plan principal Wjar-h t?8j/ -i- w^z -f- r, = 0.
246 COORDONNÉES TANGENTIELLÊS. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
Enfin nous prendrons pour plan des yV le plan perpendiculaire au plan de la parabole et passant par la tangente au sommet.
On obtiendra pour équation de la courbe Téquation (2) du n* 184.
Mais on a /•(wi, Ui, z^i, r,) = 0, f[u2, V2, Wi, rj) = Sa, /"(uj, Ug, w^, n) = 0.
On voit aisément que tous les autres coefficients sont nuls à Texception du coefficient de mV.
L'équation devient
Siv'^ -h 2wV(cu, -h c'vi 4- c'wi) = 0.
Or, on a aussi
Wi Vi ^ Wi
wf -h uf H- «;? = 1.
L'équation réduite de la parabole est donc
S^v'^ ± 2wy v/cM=7M=^ = 0.
Les équations ponctuelles sont
Le paramètre de cette parabole est
En se reportant à l'équation en S (n® 171), on voit que la racine non nulle est
192. On voit par cette discussion que si l'on connaît les signes des racines de l'équation en S, on connaîtra la nature de la surface (ou de la courbe) représentée par l'équation donnée.
Si de plus on peut résoudre Téquation en S, on aura l'équation réduite de la surface (ou de la courbe).
RÉDUCTION DE l'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ 247
Il ne sera pas inutile de résumer ici tous les résultats obtenus.
Premier cas. d^ 0. L*éqiiation en S est du troisième degré.
I. Véquation ew S a trois racines non nulles, La surface est un ellipsoïde ou un hyperboloïde , dont réquation réduite est
Siw'^ -h Sai;'^ + SaM;'^ + dr'^ = 0.
!• Si, Sa, S3 sont de f Sirf < Ellipsoïde réel, même signe. )
Genre Ellipsoïde. ( Sjrf > Ellipsoïde imaginaire.
/ SiS2S3d>0 Hyperboloïde à une
2" Si, S2, S3 ne sont l nappe.
pas de même signe. <
I SiSaSaCi
Genre Hyperboloïde. I SiSaSgrf < Hyperboloïde à deux
\ nappes.
n. L'équation en S a une racine nulle et deux racines non nulles.
L'équation (1) représente une ellipse ou une hyperbole dont réquation réduite est
Siu'^ 4- S,v" -+- rfr'» == 0.
i<> Si et S2 sont de [ Sjrf < Ellipse réelle, même signe. )
Genre Ellipse. ( Sjrf > Ellipse imaginaire.
2° Si et S2 sont de signes contraires. — Hyperbole.
HL L'équation en S a deux racines nulles et une racine non nulle.
L'équation (1) représente deux points à distance finie ; l'équation réduite est
Siw'-2 -h dr'^ = 0.
Sirf < Deux points réels.
Sirf > Deux points imaginaires.
248 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'ESPACE
