Deuxième CAS. rf
Supposons en premier lieu que la surface soit un paraboloïde, c'est-à-dire que a soit différent de zéro.
L'équation en S a deux racines non nulles que nous désignerons par Sa et S».
Soient
u^x -+- v^y -H W%z H- ra = 0,
u^x -h t?3t/ + WzZ -t- ra =
les équations des plans principaux correspondants, et
UiX -h Viy -4- WiZ -f- ri =
celle du plan tangent au sommet.
Nous prenons ces trois plans pour plans de coordonnées, et
nous obtenons l'équation (2) du n* 184.
On a cette fois
/•(wi, Vi, Wi, r,) = 0,
/*(Wî, Vi, W2, n) = S2,
f{Uz^ V3, M.'3, ^3) = S3.
Le coefficient de v'w' est nul puisque les deux plans principaux sont conjugués ; les coefficients de w'u' et u'v' sont nuls puisque le sommet (Jui a pour coordonnées homogènes Al» A' Al' Al ^st dans les plans principaux.
Enfin les coefficients de vV et w'r' sont aussi nuls.
L'équation devient alors
S,v'» 4- S3W;'' + wV7;(mi, u,, w,, ri) =
OU
Les coefficients wi, v,, Wi du plan tangent au sommet seront déterminés par les équations
On en déduit sans difficulté
cwi 4- c'y, H- c'Wi = dz ^c* -+- c'* -4- c"^ . L'équation réduite est donc
L'équation ponctuelle est alors
Sa S3 ^c^ -h c'* -h c"'
