Revenons à la surface qui a pour équation tangentielle
FOYERS ET SURFACES flOMOFOCALES 309
et pour équation ponctuelle
Considérons la focale
z = 0, et prenons un point F(a/, y\ 0) sur cette courbe : on aura
Nous nous proposons de déterminer la directrice correspondant à ce foyer.
Le cône circonscrit à la quadrique ayant pour sommet le point F coupe le plan de Tintini suivant la conique
Aw2 H- Bv^ -+. Cw^ — (ux' -h vy'Y = 0, et l'expression
Aw2 -f- Bv^ -h Cw^ — (wa/ + vy'f — C{u^ -hv^-h iv^)
est carré parfait ; sa racine égalée à zéro donne l'équation du point de rencontre du plan de l'infini et de l'intersection des deux plans tangents menés à la quadrique par le point F et qui sont tangents au plan de l'infini.
L'équation de ce point est
(A — C — x'^)u — vx'y' = ;
il en résulte que l'intersection des deux plans tangents a pour
équations
la première de ces équations peut s'écrire, en tenant compte
de (4),
xx' yy' 1 — ±1 1=0*
par conséquent cette droite est tangente à la focale au point F.
310 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
La directrice sera la droite conjuguée de cette tangente par rapport à la quadrique ; pour obtenir cette droite conjuguée, je mèpe un plan quelconque par la tangente
+ S^-+-Xz-l =0;
A— G B— G son pôle par rapport à la quadrique a pour coordonnées Ax' By'
ce pôle décrit la droite
Aa?' By'
qui est précisément la directrice cherchée.
On en conclut que la directrice relative à un foyer F est perpendiculaire au plan de la focale qui contient le point F ; de plus le pied D de cette directrice sur ce plan est le pôle de la tangente à la focale au point F par rapport à la conique principale de la quadrique qui se trouve dans le même plan que la focale.
On verra aussi aisément que la droite FD est normale à la focale ; il en est de même du plan qui passe par le foyer et la directrice.
Nous montrerons plus loin que ces résultats sont des conséquences immédiates des définitions du foyer et de la directrice.
237. Supposons maintenant que la surface soit un paraboloïde ; nous prendrons pour plans de coordonnées les plans principaux et le plan tangent au sommet.
L'équation tangentielle de la surface est alors
pv'^ H- qw- — Sur = 0, et le point (a?, y, z) sera foyer si l'expression
pv'^ 4- qw'^ -+- ^u[ux -^vy -h wz) H- '^{u^ 4- v^ -h. w^) est carré parfait.
ou
Cette expression peut s'écrire
Il n'y a pas de terme en vw ; on en conclut que le coefficient de v^ ou de w^ doit être nul.
Supposons d'abord
le coefficient de uw doit être nul, et le trinôme restant en w et u doit être carré parfait ; on aura donc
(2a?4-X)(;j-4-X)-i/ = 0, ou, en remplaçant X par sa valeur — g,
En supposant
on obtiendrait
On trouve ainsi deux paraboles ayant mêmes foyers et même axe que les paraboles principales de la surface.
En raisonnant comme plus haut, on verra que la directrice relative à un foyer (a?', y\ 0) de la parabole (5) a pour équations
py'
cette directrice jouit d'ailleurs des mêmes propriétés que dans le cas des quadriques à centre.
238. Il peut arriver que l'équation tangentielle donnée repré-
312 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS L'eSPACE
sente une conique ; les foyers se définissent de la même manière et se déterminent par un calcul semblable.
Supposons que la conique soit une ellipse ou une hyperbole ayant pour équation tangentielle
\u^ -h Bv^- — ^2 = 0.
Un point (a?, y, z) sera foyer si l'expression
\w2 4- Bv^ — {ux -i-vy-h ivzf -4- \[u^ -h r^ 4- w^)
est carré parfait.
En raisonnant comme au imméro 235, on obtiendra encore trois focales dont Tune est la conique donnée, c'est une focale singulière ; il est clair en effet que par toute tangente à cette conique on peut mener deux plans tangents au cercle de l'infini.
Il resle les deux focales
et
Si la conique donnée est une ellipse, la première focale est une hyperbole située dans un plan perpendiculaire au plan de l'ellipse et passant par son grand axe ; les foyers de l'hyperbole sont les sommets de l'ellipse et les sommets de l'hyperbole sont les foyers de l'ellipse.
La deuxième focale est une ellipse imaginaire.
Si la conique donnée est une hyperbole, la première focale est une ellipse située dans un plan perpendiculaire au plan de l'hyperbole et passant par son axe réel, les foyers de cette ellipse sont les sommets de l'hyperbole et les sommets de l'ellipse sont les foyers de l'hyperbole.
La deuxième focale est encore une ellipse imaginaire.
239. On voit ainsi que, si une ellipse et une hyperbole, situées
dans des plans perpendiculaires, ont même axe focal, et sont telles que les foyers de chacune d'elles soient aux sommets de l'autre, on peut considérer l'une de ces courbes comme la focale réelle de l'autre, ou encore comme le lieu des sommets des cônes de révolution contenant l'autre courbe.
On peut remarquer aussi que les deux focales réelles d'une quadrique à centre sont dans cette situation respective ; l'une d'elles est la focale de l'autre. Ces deux courbes jouissent de propriétés fort curieuses. (Voir note 12 à la fin du chapitre.)
