C-i-(iCt
c + hC;
C+iiCî
D + fiD,
quadriques, et l'on a
àF , ,
dF,
dai
dF,
<?Fi
<it'
11 existe donc une racine X' de l'équation (<) telle que le plan
(m', u', w\ r') de la conique correspondante coïncide avec le plan polaire du point {x\ t/', z', t')^ c'est-à-dire telle que Ton ait
dF
âx'
dF dF
dy' dz'
dF
de
avec les conditions
du' ' du'
àf .y àf, dv' -^^ dv' - "'
dw dw
Or, on peut écrire
àf l àY ,, <^F ,, <?F dv \ ^ ,,
On en conclut de même
et par suite
a?'(A — XVAi) = 0; i/'(A-XVAO = 0,
Telle est la relation fort simple qui existe entre les racines des équations (1) et (2) (*).
12. Nous pourrions répéter presque textuellement ici au sujet des coordonnées tétraédriques de plans et de points ce que nous avons dit dans la Première partie (p. 288, note 17).
Si Ton désigne par pi, p2, Ps, Pu les distances d*un point aux faces du tétraèdre de référence, ces distances étant précédées du signe -h ou du signe — selon que le point est, par rapport à une face, situé ou non du même côté que le sommet opposé, les coordonnées tétraédriques du point sont des nombres X, Y, Z, T définis par les
(*) Cette élégante démonstration m'a été communiquée par M. Maluski.
relations
pX = hipu
pY = ft2p2| pZ = ÂsPs, PT = A4i)4,
^1^ kif ks, ki. étant des nombres fixes, arbitrairement choisis.
De même, désignons par $i, ^2, q^y q^ les distances des sommets da tétraèdre de référence à un plan, deux de ces distances ayant le même signe ou des signes différents, selon que les deux sommets correspondants sont d'un même côté ou non du plan ; nous appellerons coordonnées tétraédriques de la droite les nombres U, V, W, R définis par les relations
(jU = hiqiy
dV = ^2^2,
(jW = h^qz, (jR = h^q^y
h^y h2y hy h étdut des nombres fixes, arbitrairement choisis.
Si Ton veut que la condition pour que le point soit sur le plan s'exprime par la relation
UX + VY 4- WZ + RT = 0, on devra choisir les nombres k et ^ de telle manière qu'ils satisfassent à une certaine relation.
On pourra se donner les nombres k arbitrairement ; on en déduira les nombres h, ou inversement.
Le raisonnement est absolument le même qu'en géométrie plane.
Gela posé, considérons l'équation ponctuelle d'une surface /•(X, Y, Z, T) = 0, rapportée à un tétraèdre de référence ABGD.
Coupons cette surface par le plan ABC, T = ; on obtient une courbe qui a pour équations
Nous allons montrer qu'on peut considérer l'équation /•(X, Y, Z, 0) = comme l'équation de cette courbe rapportée au triangle de référence ABC.
Soit M un point de cette courbe, ayant pour coordonnées tétraédriques X, Y, Z, 0. Abaissons de ce point la perpendiculaire MP sur le plan DBC, et la perpendiculaire MP' sur la droite BC.
Si l'on pose MP = pi, MP' = p[y on voit que
Pi =p' sin BC;
on aura de même, en abaissant des perpendiculaires du point M sur les faces DCA, DAB et sur les arêtes CA, AB,
P2 =.P2 sin CA,
P3 = pi sin AB.
Or on a
Âjpj k2p2 kofs
on en conclut
en posant kl = hi sin BG, . . . etc.
11 en résulte que X, Y, Z peuvent être considérées comme les coordonnées trilaières du point M par rapport au triangle de référence ABC.
Soit maintenant l'équation tangentielle d^une surface,
cp(U, V, W, R) = ; le cône circonscrit à cette surface ayant pour sommet le point D a pour équations tangentielLes
Nous allons montrer qu'on peut considérer l'équation cp(U, V, W, 0) =
comme l'équation tangentielle de la section de ce cône par le plan ABC, cette équation étant rapportée au triangle de référence ABC. Considérons en effet un plan H tangent à ce cône et coupant le plan ABC suivant une droite A.
Abaissons du point A les perpendiculaires AQ sur H et AQ' sur A ; si Ton pose AQ = gi, AQ' = ^'J, et si l'on désigne par 6 l'angle du plan H avec le plan ABC, on aura
q^ = q'i sin 6 ; de même pour les points B et C,
^2 = qi sin Ô,
qz = qz sin 0.
Or les coordonnées U, V, W du plan H vérifient les relations
— = JL -- W ,
hiqi ~" h2q2 hzqz ' on aura donc
JLzn V - ^ hiq'i h^q'i "" à-iq'^
ce qui montre que U, V, W peuvent être considérés comme les-
coordonnées trilatères de la droite A par rapport au triangle de référence ABC.
De plus, la condition pour que le point M du plan ABC soit sur la droite A est
UX + VY + WZ = 0,
puisque cette condition exprime que le point M est dans le plan H.
235. Foyers des quadriques. — On appelle foyer d'une quadrique un point tel que parmi les plans tangents menés de ce point à la quadrique, il y en ait deux qui soient tangents au cercle de l'infini.
La droite qui joint les points de contact de ces deux plans tangents et de la quadrique est appelée la directrice relative au foyer considéré.
Il résulte de cette définition que le cône circonscrit à la quadrique et ayant pour sommet un foyer est bitangent au cône isotrope de même sommet, ce qui revient à dire que le cône circonscrit est de révolution (215).
On voit aussi que le cône isotrope ayant pour sommet un foyer est bitangent à la quadrique, ce qui revient à considérer un foyer comme une sphère de rayon nul bitangente à la quadrique, la droite joignant les points de contact étant la directrice correspondante.
La première définition donnée permet d'obtenir aisément les foyers d'une quadrique définie par son équation tangentielle,
/*(m, V, iv^ r) = au^ -\- a!v^ -{- ... =0,
jet rapportée à des axes de coordonnées rectangulaires.
Soient a», y^ z les coordonnées d'un foyer ; les plans tan-
gents menés de ce point à la surface sont déterminés par
les équations
f[u, V, îv, r) = 0,
ux -^ vy -h wz -^ r = 0.
Ces plans tangents déterminent un cône dont la trace sur le plan de rinfini a pour équation tangentielle
/■[m, u, IV, — {uv -h vy -h wz)] = ;
il faut écrire que cette conique est bitangente au cercle de rinfini, c'est-h-dire que
f[u, V, w, — [ux -h v]y H- ivz)] -h \{u^ -+- v^ + iv-)
est carré parfait pour une valeur convenable de X.
On obtiendra trois conditions en x, y, z et X ; en éliminant X, on aura deux équations par rapport à a?, y, z.
On voit ainsi qu'il existe une infinité de foyers qui sont situés sur une courbe.
Pour étudier la nature de cette courbe, il sera plus simple de rapporter la quadrique à des axes de coordonnées particuliers.
1° Supposons que la quadrique ait un centre ; prenons pour axes de coordonnées les axes de la surface ; son équation tangentielle est alors
ky} H- Bi;2 -+- Ch'2 — r^ = 0.
Un point (a?, i/, z) est foyer si l'expression
ku^ -i- Bv* H- Civ^ — [ux -^vy-^-wzf-^- \{u^ -\-v^-^ iv^)
est le carré d'une fonction linéaire et homogène de u, v, w. Cette expression s'écrit
— ^vwyz — ^wuzx — ^uvxy ;
pour qu'elle soit carré parfait, il faut et il suffît que tous les mineurs de son discriminant soient nuls.
On obtient
(X + B — î/2)(Xh-C — Z2)y2z2 = 0, (Xh-C — z2)(x + A — ar2)— z2^2^ 0,
(X-HA — ar^XX-hB — t/2)^2y2^ 0^
yzÇk-^k) = 0,
zx(X 4- B) = 0,
xy{\ -h G) = 0.
On voit immédiatement que le produit xyz ne peut être différent de zéro, car les trois dernières équations donneraient
A = R = G = —X, ce qui est impossible.
Supposons donc, par exemple,
a? = 0; la quatrième équation donne
la deuxième et la troisième sont vérifiées et la première
devient
(B - A — y',[C - A — z2) — yh^ =
On trouve ainsi la conique représentée par les deux équations
En supposant successivement y = et z = 0, on obtient les deux autres coniques
et
^2 -jy2
Il en résulte que les foyers de la quadrique sont situés sur
308 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
ces trois coniques, que Ton appelle pour cette raison les focales de la surface.
Elles sont situées dans les plans principaux de la quadrique, elles ont mêmes axes et mômes foyers que les coniques principales de la surface.
Si Ton suppose A >> B > C, on voit que la conique (1) est une ellipse imaginaire, la conique (2) est une hyperbole et la conique (3) une ellipse réelle.
Si la surface est un ellipsoïde, ayant pour équations ponctuelle et tangentielle
x^ xi- z^
Tellipse réelle est dans le plan des xy^ Thyperbole est dans le plan des zx et l'ellipse imaginaire dans le plan des ijz.
Le résultat est le même si la surface est un hyperboloïde à une nappe
Enfin si la surface est un hyperboloïde à deux nappes ayant pour équations
Tellipse réelle est dans le plan des j/z, l'hyperbole dans le plan des zx et Tellipse imaginaire dans le plan des xy.
D'après ce qu'on a vu au début, ces trois focales constituent le lieu des sommets des cônes de révolution circonscrits à la surface.
