Enfin si l'on considère une parabole
jw^ — 2ur = 0,
on verra aisément qu'elle admet une seule focale proprement dite, ayant pour équations ponctuelles
z^-h2px—p^ = 0, y=0;
c'est une parabole ayant même axe que la parabole donnée ; les deux plans de ces deux paraboles sont perpendiculaires et le foyer de chacune d'elles coïncide avec le sommet de l'autre. On vérifiera sans peine que la directrice relative à un foyer (x\ z') a pour équations
cette droite est située dans le plan des a?j/, elle est parallèle à Oy et rencontre Ox au point où cet axe est rencontré par la normale à la focale au foyer considéré.
242. Si deux paraboles, situées dans des plans perpendiculaires, ont même axe, et sont telles que le foyer de chacune d'elles coïncide avec le sommet de l'autre, on peut considérer Tune quelconque de ces courbes comme la focale de Taulre, ou comme le lieu des sommets des cônes de révolution contenant l'autre courbe.
Les deux focales d'un paraboloïde sont dans cette situation respective : l'une d'elles est la focale de l'autre.
243. Autre méthode pour déterminer les loyers. — D'après la définition donnée au début de ce chapitre, on voit qu'un foyer d'une quadrique est un point double de la surface développable circonscrite à la quadrique donnée et au cercle de l'infini.
Or cette développable contient quatre coniques doubles parmi lesquelles se trouve le cercle de l'infini; il ne reste donc que trois coniques, qui constituent le lieu géométrique des foyers et que l'on appelle les focales.
D'un point F d'une de ces focales on peut mener deux plans tangents communs à la quadrique et au cercle de l'infini ; ces deux plans ont comme intersection la tangente en F à la focale, et la droite qui joint les points de contact de ces platis et de la quadrique est la directrice relative au foyer F ; cette directrice sera donc la droite conjuguée de la tangente en F à la focale.
On déduit de là une méthode analytique fort simple pour la détermination des focales.
Soit f{uy V, iL\ r) =
l'équation de la quadrique ; on obtiendra les focales en écrivant que l'équation
représente une conique, c'est-à-dire que le discriminant du premier membre est nul ; on aura une équation du troisième degré en X, aux racines de laquelle correspondront les trois focales.
Ainsi, reprenons Téquation
le discriminant de
est
Si l'on prend la racine X == — C, on obtient là focale (A — C)w2 H- (B — Cy - r' = 0, qui a pour équations ponctuelles
244. Dans le cas où la surface est un paraboloïde, elle est tangente au plan de l'infini, et comme le cercle de l'infini est dans ce plan, la développable commune n'aura que deux coniques doubles en dehors de ce cercle (210) ; ces deux coniques sont en outre tangentes au plan de l'infini^ ce sont des paraboles.
Dans ce cas, le discriminant sera du deuxième degré en X. On peut dire que l'équation en X obtenue en égalant ce discriminant à zéro aura une racine double infinie correspondant au cercle de l'infini.
Ainsi supposons que l'équation de la surface soit
pv^ -h qw^ — 2ur = ;
le discriminant de la fonction
pv^ -+- qw^ — 2wr -+- l{u^ -h t?^ -h w^) est
on obtient les deux focales
— pu^ -h {q — p)iv^ — 2ur =
316 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMKTRIE DANS l' ESPACE
et
— qii\-h {p — q)v- — ^2ur = 0.
245. Si la quadrique donnée se réduit à une conique, la développable relative à cette conique et au cercle de l'infini admettra seulement deux coniques doubles en dehors de la conique donnée et du cercle de l'infini ; et dans le cas particulier où cette conique donnée est une parabole^ comme elle est tangente au i)lan de l'infini, l'une des coniques doubles vient se confondre avec le cercle de l'infini et il ne reste qu'une seule focale.
246. Revenons au cas où la quadrique donnée est à centre unique ; les coniques doubles de la développable commune à cette surface et au cercle de l'infini sont situées dans les faces du tétraèdre conjugué commun, qui sont dans ce cas les plans principaux de la quadrique et le plan de l'infini ; de plus chacune de ces coniques est conjuguée par rapport au triangle du tétraèdre qui se trouve dans son plan ; on en conclut que les focales sont dans les plans principaux et ont mêmes axes que les coniques principales.
Il est aisé de voir qu'elles ont mêmes foyers .
En effet, un plan principal P rencontre le cercle de l'infini en deux points I et J qui sont les points cycliques du plan P ; menons du point I les tangentes lA et IB à la focale qui est située dans le plan P. Ces deux droites sont deux génératrices de la développable commune ; elles sont tangentes à la quadrique, et par suite à la section de cette quadrique par le plan P ; cette section a donc mêmes foyers que la focale.
247. Propriétés des loyers des quadriques. — Soit F un foyer d'une quadrique ; menons par ce point les deux plans tangents à la quadrique, qui sont aussi tangents au cercle de l'infini ; désignons par A et B leurs points de contact avec la surface et par C et D leurs points de contact avec le cercle de l'infini ; AB est la directrice relative au foyer F.
L'intersection des deux plans tangents, qui est, comme on Ta vu précédemment, la tangente en F à la focale, rencontre le plan de Tinfini en un point H, qui est le pôle de la droite CD par rapport au cercle de l'infini.
On voit ainsi que le plan FAB est perpendiculaire à FH, puisque ce plan rencontre le plan de Tinfini suivant la polaire CD de H par rapport au cercle de l'infini ; donc le plan qui contient un foyer et la directrice est normal à la focale.
De plus, le plan FAB coupe la quadrique suivant une conique tangente en A et B aux droites FA et FB, et comme ces tangentes passent par les points C et D, points cycliques du plan de cette conique, on en conclut que tout plan passant par le foyer F et la directrice AB correspondante coupe la surface suivant une conique ayant pour foyer le point F et pour directrice la droite AB.
Enfin le cône circonscrit à la surface et ayant pour sommet le point F coupe le plan de Tinfini suivant une conique bitangente en C et D au cercle de l'infini ; il en résulte que ce cône est de révolution et a pour axe la droite FH.
Donc, le cône qui a pour sommet un foyer F et qui est circonscrit à la quadrique est de révolution et a pour axe la tangente à la focale au point F.
248. Théorème. — Si Von mène un plan quelconque passant par la directrice et qu'on considère le côfie ayant pour sommet le foyer F et pour base la section du plan et de la quadrique, ce cône est de révolution et a pour axe la tangente à la focale au point F.
Cela résulte immédiatement de ce que la section de ce cône par le plan de l'infini est une conique bi tangente au cercle de l'infini aux points C et D.
249. Théorème. — La droite qui joint un foyer F à un point M de la surface est perpendiculaire à la droite qui joint le foyer au point où le plan tangent en M à la surface rencontre la directrice.
Soit K le point où le plan tangent en M rencontre la directrice AB ; la droite FM est dans le plan polaire du point K, puisque ce plan contient la droite FH. Ce plan polaire rencontre le plan de" rinfini suivant une droite qui est la polaire par rapport au cercle de
318 COORDONNÉES TANGENTIELLES. —GÉOMÉTRIE DANS l' ESPACE
Tinfinî du point à Tinfini de la droite FK ; on en conclut que les droites FK et FM sont perpendiculaires.
L'hypothèse que le point M est sur la surface n'intervient pas dans la démonstration ; on peut généraliser le théorème de la façon suivante :
La droite qui joint un foyer à un point quelconque M est perpendiculaire à la droite qui joint le foyer au point où le plan polaire de M rencontre la ilirectrice.
250. Théorème. — Si un cône a pour base une section plane dhme quadrique et pour sommet un foyer ^ ce cône a pour l'un de ses axes la droite qui joint le foyer au point où le plan de section coupe la directrice .
Soit G le point où le plan sécant rencontre la directrice, le plan polaire de G passe par la droite FH ; ce plan coupe le plan sécant suivant la polaire de G par rapport à la conique section ; il en résulte que FG est le diamètre conjugué de ce plan polaire par rapport au cône ; or, ce plan est perpendiculaire à FG, donc FG est axe du cône.
251. Quadriques homolocales. — On appelle quadriques homofocales des quadriques qui ont les mêmes foyers.
Il résulte de cette définition que les quadriques homofocales d'une quadrique Q sont inscrites dans la développable commune à cette quadrique et au cercle de Tinfini.
Si Q a pour équation tangentielle
/'(u, V, IV, /•) = 0, réquation générale des quadriques homofocales est
l'ensemble de ces quadriques contient comme cas particulier les trois focales de Q ; on peut considérer ces trois focales comme des surfaces singulières du faisceau.
Supposons que la quadrique Q ait un centre, et rapportonsla à ses axes ; son équation tangentielle est
l'équation générale des surfaces homofocales est alors
et leur équation ponctuelle
11 résulte immédiatement de cette équation que par un point de l'espace on peut faire passer trois quadriques homofocales à une quadrique donnée ; ces trois quadriques sont, Tune un ellipsoïde réel, la deuxième, un hyperboloïde à une nappe, et enfin la troisième, un hyperboloïde à deux nappes. On démontre en outre aisément que ces trois quadriques sont orthogonales au point donné.
Nous allons obtenir ce résultat par une autre méthode.
.252. Propriétés des quadriques homofocales. — L'équation tangentielle des surfaces homofocales
est du premier degré par rapport à X ; on en conclut qu'il existe une seule quadrique du faisceau tangente à un plan donné.
Théorème. — Le lieu du pôle d'un plan P />ar rajoi^ort à des quadriques homofocales est une droite perjoendiculaire au plan P au point où ce plan touche la surface du faisceau qui lui est tangente.
Considérons d'abord un faisceau tangentiel quelconque de
quadriques,
f[u, V, IV, r)H-Xçp(i^, V, IV, r) = 0.
Le pôle du plan F{uq, vq, Wq, ro) par rapport à l'une de ces quadriques a pour équation
on voit immédiatement que, ce point est situé sur la droite qui joint les pôles du plan P par rapport aux deux quadriques
/• = et 9 = 0.
Dans le cas où
cp(w, y, w, r) ^ u'^-hv^-i-îv^,
3^0 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
c'est-à-dire où les surfaces du faisceau sont homofocales, ou peut voir analytiquement que la droite a pour paramètres directeurs Mo> vo, Wq ; elle est donc perpendiculaire au plan P.
Mais il est plus simple d'observer que la droite et le plan rencontrent le plan d'une conique quelconque du faisceau (conique double de la développable commune) suivant un point et une droite qui sont pôle et polaire par rapport à la conique ; cette propriété aj^ant lieu pour le cercle de l'infini, la dfoite est perpendiculaire au plan.
Il résulte de ce théorème qu'un plan tangent h une quadrique et la normale au point de contact rencontrent un plan principal quelconque suivant une droite et un point qui sont polaire et pôle par rapport à la focale qui se trouve dans le plan principal.
253. Théorème. — Étant donné un faisceau de quadriques homofocales y il existe deux de ces surfaces tangentes à une droite A, et les plans tangents correspondants sont perpendiculaires ,
On voit d'abord aisément que les plans tangents menés par la droite aux quadriques homofocales forment une involution.
En effet, si l'on mène un plan quelconque P par la droite, il existe une seule surface du faisceau tangente à ce plan ; on pourra mener à cette surface un autre plan tangent par la droite, soit P' ce plan. Ainsi à un plan P correspond un seul plan P' ; on voit de même qu'au plan F correspond le plan P, l'ensemble des plans P et P' forme une involution.
Les plans doubles de cette involution seront les plans tangents aux surfaces qui sont tangentes à la droite A ; il existe donc deux surfaces tangentes à cette droite. De plus les plans tangents correspondants divisent harmoniquement les couples de plans tels que P et F ; comme parmi les surfaces du faisceau se trouve le cercle de l'infini, les plans doubles de Tinvolution divisent harmoniquement les plans tangents menés par A au cercle de l'infini ; il en résulte que les plans doubles sont rectangulaires.
