Théorème. — Par uti jjoint A on peut faire passer trois
quadriques homofocales à une quadrique Q ; les plans tangents en k à ces trois quadriques sont perpendiculaires et les normales sont les axes du cône de sommet A circonscrit à la quadrique Q et à toutes les surfaces homofocales.
Considérons d'abord un faisceau ponctuel de quadriques qui ont en commun une même quartique gauche. Un plan quelconque P les coupe suivant des coniques passant par les quatre points de rencontre du plan P et de la quartique .
Parmi ces coniques se trouvent trois couples de droites ; donc il existe trois quadriques tangentes au plan P^ et les points de contact forment un triangle conjugué commun par rapport à toutes les coniques sections des quadriques par le plan P.
Transformons ce résultat par le principe de dualité : étant donné un faisceau tangentiel de quadriques, il passe trois de ces quadriques par un point A, et les plans tangents à ces quadriques en ce point sont conjugués par rapport à tous les cônes de sommet A circonscrits aux quadriques.
Si l'on a des quadriques homofocales, parmi tous les cônes de sommet A se trouve le cône isotrope ; les trois plans tangents sont donc perpendiculaires, et comme ils sont conjugués par rapport à tous les cônes, ils constituent les plans principaux de chacun de ces cônes.
La proposition subsiste pour les focales ; par conséquent les axes de tout cône circonscrit à une quadrique rencontrent le plan d'une focale en trois points conjugués par rapport à cette conique. Ce cône a mêmes axes que le cône de même sommet et qui s'appuierait sur la focale.
255. Foyers des surlaces de révolution. —Toute quadrique de révolution est bi tangente au cercle de l'infini ; il en résulte que la déveioppable commune à cette surface et à ce cercle se réduit à deux cônes ; ces deux cônes se coupent suivant deux courbes planes, dont l'une est le cercle de l'infini ; par conséquent ces deux cônes sont isotropes. Une surface de révolution admet donc une seule focale qui est un cercle, puisqu'elle appartient à un cône isotrope ; elle admet en outre deux foyers singuliers qui sont les
322 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
sommets des deux cônes isotropes circonscrits à la surface. 11 n'y a donc pas lieu de chercher les directrices relatives à ces foyers singuliers, puisque tous les plans tangents menés à la surface par ces points sont tangents au cône isotrope.
On peut aisément retrouver ces résultats par le calcul.
Soit
Am2 -h B(r2 ^- io2) — r2 =
réquation tangentielle d'une quadrique de révolution ayant pour axe Ox,
On a pour équation de la focale
(B — A)(v2 4-i/j2^— H = 0, et pour équation des foyers singuliers
Ces foyers singuliers ne sont autres que les foyers de la méridienne qui sont situés sur Taxe de révolution ; quant à la focale, elle est engendrée par la rotation des foyers de la méridienne situés sur Taxe de la courbe qui est perpendiculaire à Taxe de révolution .
Si la surface est un ellipsoïde allongé, les foyers singuliers sont réels et la focale est imaginaire ; c'est l'inverse si l'ellipsoïde est aplati.
Si la surface est un hyperboloïde à une nappe, les foyers singuliers sont imaginaires, la focale est réelle ; c'est l'inverse pour l'hyperboloïde à deux nappes.
256. Lignes locales d'un cône. — On appelle foyer d'un cône du second degré un point F tel que les plans tangents menés du point F à ce cône soient tangents au cercle de Tinfini, ou, ce qui revient au même, au cône isotrope qui a même sommet que le cône donné.
Soit un cône de sommet ; menons les plans tangents communs à ce cône et au cône isotrope de même sommet ; ces plans, au nombre de quatre, se coupent deux à deux suivant six droites passant par le point G. Ces six droites constituent le lieu géométrique des foyers du cône ; on les appelle les lignes focales ou plus simplement les focales du cône.
11 est aisé de voir que deux de ces lignes seulement sont réelles.
En effet, remarquons d'abord que ces lignes s'obtiennent aussi en joignant le point G aux ombilics relatifs au cercle de
rinfini et à la conique section du cône donné par le plan de l'infini .
Supposons que le cône donné soit rapporté à ses plans principaux et ait pour équation ponctuelle a?2 v^ ^2
Sa conique de l'infini a pour équation
et Ton aura les ombilics relatifs à cette conique et au cercle de l'infini en écrivant que l'équation
Am2 -+- Bv^ -4- Cw^ -h X(w2 -^v^^w^) =
représente deux points.
On a ainsi les trois couples de points
(A — CK-h(B — C)i;2 = 0, (A — By^-(C — BK = 0, (B — A)t)2-h(G — AK = 0.
Si l'on suppose A > B > G, on voit que le second couple seulement est réel.
Les lignes focales correspondantes ont pour équations ponctuelles
Â-B^C^^nB"^'
257 . Les deux plans tangents au cône qui passent par une ligne focale touchent ce cône suivant deux génératrices ; le plan de ces deux génératrices est le plan conjugué de la focale ; on l'appelle quelquefois le plan directeur relatif à tous les foyers situés sur la focale.
Nous allons établir par des considérations géométriques très simples quelques propriétés des focales des cônes ; pour cela nous emploierons les notations suivantes.
Soit le sommet du cône, S la conique section par le plan de l'infini, G le cercle de l'infini.
324 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
Menons deux tangentes communes aux coniques C et S ; soient HM et KN ces deux tangentes ; elles touchent C en H et K, et S en M et N. Ces deux tangentes se coupent en un point L, OL est une focale et le plan directeur correspondant est le plan OMN.
258. Théorème. — Tout plan perpendiculaire à une focale coupe le cône suivant une conique qui a pour foyer le point de rencontre du plan sécant et de la focale et pour directrice correspondante l'intersection du plan sécant et du plan directeur.
Prenons un point F sur la focale OL ;^ le plan passant par F et perpendiculaire à OL est le plan HFK ; ce plan coupe le plan directeur OMN suivant une droite AB (A sur OM et B sur ON).
La conique section du cône et du plan est tangente en A et B aux droites FA et FB ; or ces droites passant par les points H et K qui sont les points cycliques du plan FAB, on en conclut que la conique a pour foyer le point F et pour directrice AB.
259. Théorème. — Les focales d'un cône sont perpendiculaires aux plans de sections circulaires du cône supplémentaire.
En effet, la trace du cône supplémentaire sur le plan de Tinfini est une conique S' qui est polaire réciproque de S par rapport au cercle de Tinfini ; donc cette conique S' passe par les points H et K, et par suite le plan OHK est un plan de section circulaire du cône supplémentaire. Ce plan étant perpendiculaire à OL, le théorème est démontré.
260. Théorème. — Deux plans conjugués quelconques passant par une focale sont perpendiculaires.
En effet, ces deux plans seront également conjugués par rapport au cône isotrope de sommet 0.
