III. Le rapport — converge vers sa limite (que nous avons

déjà appelée dérivée première de F) uniformément^ par rapport à toute fonction o (x) et à^.

IV. La dérivée F|[cp(^), ^] ] est continue par rapport à 'f{x) et à ^.

Remarquons que dans le cas où la fonction est de la forme (8) ou (9)(§VI) les quatre conditions fondamentales ne sont pas toutes satisfaites. En effet, en reprenant par exemple l'équation (8), on a

A* ^ AF ^ A[cp,(0-cp(0] .

e/i eA zh '

or

<:;M; maisc5,(^) — '^(i) est en général du même ordre que £, c est-a-dire que le rapport -^ — ' — — ne reste pas Imi

lorsque h tend vers zéro : donc la condition I n'est pas remplie.

Sous les conditions posées précédemment on peut étudier le problème suivant :

En donnant à <d[x) une variation z'h{x) continue dans l'intervalle (a^b), soit \F la variation correspondante de F. Si l'on fait