SUR LES FONCTIONS QUI DEPENDENT D AUTRES FONCTIONS
varier £ on peut envisager AF comme fonction de e : déterminer
la limite
AF
ou bien
iim —
A cet eflTet, divisons l'intervalle («, ^) dans un certain nombre de parties et envisageons celles où 'j'(^) ^'^ s'annule pas. Nous les désignerons par //,, Ao, • • ., A«. L'intervalle ///= (X/, p./) pourra à son lour être partagé en trois parties A*/, //, nii. Construisons une fonction 0/(:r) qui soit nulle dans les intervalles (a, X), (jjl/, ^), constamment égale à une valeur de «{^(^r) dans l'intervalle //, et dans les intervalles ki et /??/, toujours croissante ou décroissante.
Dans la figure 2 on a représenté par une ligne mince la ligne
Fiff. 2.
y = ^(^) et par une ligne brisée épaisse la ligne y = hi(^x). On peut appeler cette dernière ligne une ligne dentelée avec une dent. Posons
La ligne ayant pour équation r = '}r(^) sera une ligne à /• dents, Remarquons maintenant que
A,= F 1 [cp -f- £^,] I F i [cp H- z^r-, \ i = ^'^,■ F' I [<? H- £6,i, ,^J j -1- £T, gr, où \r est un point de l'intervalle A^,
)û?ar
et OÙ gr peut être rendu aussi petit qu'on veut en prenant hr et z suffisamment petits. C'est pourquoi
F|[cp + s6„]-FI[cp]| ^A,
Or si nous remplaçons le premier membre par
F|[cp^e^]|-F|[o1 e
c'est-à-dire si nous remplaçons la ligne dentelée y = 'j'/i(^) par la ligney = 'l'(^), nous commettrons une erreur aussi petite que l'on voudra en prenant s suffisamment petit, en poussant suffisamment la division de l'intervalle (a, h) en intervalles partiels et en divisant aussi d'une manière convenable chaque intervalle partiel ht dans les intervalles A"/, //, nii. De même en remplaçant le dernier membre par
on pourra commettre une erreur aussi petite que 1 on voudra. On tire de là
On peut écrire aussi
AF = £ r F'|[cp(^), ^]|^(^;rf^ + Y,
OÙ y est une quantité infiniment petite d'ordre supérieur à s; donc £ étant l'infiniment petit principal, la partie du premier ordre de AF est
(2) ôFl[;p(a.)]| = £ rV'|[9(^), ^1^(0^^,
ou bien, en posant
(3) ôFi[cp(a.)]l= r F'I[cp(^), ^l|5c?(0«^^,
formule qui donne la variation première ôF de la fonction F.
SUR LES FONCTIONS QUI DÉPENDENT d'aUTRKS FONCTIONS. ^3
En rapprochant ce résultat de l'expression qui donne la variation première à^ une fonction ordinaire de n variables
on voit aussi bien dans ce cas c[ue les fonctions F se comportent comme les cas limites des fonctions de plusieurs variables quand le nombre de celles-ci croit indéfiniment.
La résolution du problème précédent nous amène à un nouvel ordre d'idées qu'il faut bien préciser: Pour cela remarquons qu'en envisageant la partie du premier ordre de l'accroissement d'une fonction ordinaire d'une variable, correspondant à l'accroissement de la variable, nous avons ce qu'on appelle différentielle de la fonction. Les recherches, que nous venons d'exposer, sur les fonctions F constituent un pas dans le Calcul fonctionnel, parce qu'elles permettent de généraliser, parallèlement à la notion de différentielle, celle de variation première (^). Les formules (i), (2), (3) sont valables pour toute fonction F assujettie aux quatre conditions fondamentales . Mais si les fonctions ne satisfont pas à ces conditions, par exemple sont définies par les formules (8) ou (9) (§ '^^)-) ^^ peut remarquer que
o<î> = 6F-4- Aôcp(0, où
3F = rV'|[cp(^),^]|o^(0«?r,
c'est-à-dire que les fonctions de la forme (8) et (9) ont leur variation première sous la forme d'une intégrale définie à laquelle on a ajouté d'autres termes.
Nous avons trouvé
d'une manière analogue, en posant d'autres conditions semblables
(') Comparer à ce propos ce que dit M, J. U ad amard, Avant-propos au Tome 1 des Leçons sur le Calcul des variations. Paris, 19 10.
à celles que nous avons énoncées précédemment, on a
<« lî?,...
/ f' F(-|[(p(:r),^,...,^J|TT^(^,)<^/-
Et, comme F^"^ est symétrique par rappport à ^i, Ç2) •••, L,
/fin FT \
nous voyons que (-7-77) appartient à la classe de fonctions F
définies par (i') [§ VI] lorsqu'on suppose o(^) invariable.
On pourrait étendre cette théorie des variations à une fonction F qui dépend d'une fonction de plusieurs variables ou qui dépend de plusieurs fonctions de plusieurs variables ; mais cette extension ne présentant aucune difficulté, nous la laisserons de côté.
Enfin dans le cas où F est une fonction de ligne F|[L]| assujettie à quatre conditions analogues à celles que nous avons posées à la page 20, en supposant
on trouve aisément que
(5) lim— = / (X^-f-Yr) + ZX,) ds
et la variation première de F est
(6) 8F|[L]|= f {Xocc^Y^y-hZoz)ds(^).
