SUR LES FONCTIONS QUI DEPENDENT D AUTRES FONCTIONS. I

Vax effet, si à n'est pas symétrique, puisque toutes les intégrations sont étendues à (a, b), on peut les échanger et écrire p ! permutations de la forme

/ <>y(^r,a7.,, ...,ar^)l I cp(:r,)c?a:,- [y = r, 2, ...,(/)!) |.

K« \ip) ' 2 ••• /' -^1

En ajoutant toutes ces expressions équivalentes on a

et si nous posons

l'expression primitive ( i ) prend la forme

/ *(a7i, . . .,;r,,)TlQ(a^/) c?;r/,

tl I (P)

OÙ la fonction <^I>^ d'après la relation (3), est symétrique pai' rapport à .Xf, x-2^ . • ., oc,i.

Calculons maintenant les dérivées de F définie par (i).

Si la fonction ç» (x) reçoit dans l'intervalle h = (|jl, v) l'accroissement y (:r) infiniment petit du premier ordre, on aura

cpi(a7/) =zo{xi)-\-y^{xi) {i =1,2, ...,/>);

en j substituant cp, au lieu de o l'expression de F deviendra

Fi|[?i(^)Jl =

I '^{ocx, ..•,.^/.) Il [o{Xi) 4-y,(^/)] dxi,

et en développant les produits, d'après la symétrie de 'l on trouvera

Fi = / ^(-^n-'-^^/O^f^ j J][?(^y) W y{Xi)dxidx.2...dx,,

= \ j ^{x\,x.2, ...,X,,)Y\o(Xj)dXj

ce qu'on peut écrire

Fi= F-+-AF.

L'accroissement AF est donc composé de p termes dont le premier esiàw premier degré par rapport à 'J;, et les (/? — i) autres sont du deuxième, troisième, ..., degré. En négligeant les termes de degré supérieur au premier, nous aurons

mais '/{oCp) est nulle hors de l'intervalle h = («i-v); donc

u ip-l)

et si ^(^/)) conserve toujoiws le même signe^ en désignant par 5i un point de l'intervalle (|jl, v), d'après le premier théorème de la moyenne^ on a

AF

mais le deuxième facteur représente V accroissement n de V aire de la courbe '>2(^); donc nous avons

(4) liin(— )^ =F'i[c;(^)J.ll

r' TT

i=rl

Par conséquent, la dérivée première de la fonction F définie par (i) contient un paramètre et est une fonction de degré {p — i)en^{x).

Comme conséquence de la formule (4) on peut calculer les dérivées deuxième, troisième, ..., /i'*'"*^, et l'on trouve

SUR LES FONCTIONS QUI DÉPENDENT d'aUTRES FONCTIONS. I7

En donnant au degré /) les valeurs 1,2,0, ..., on peut former le Tableau suivant :

i / W(xi,X2,^i)^(xx)'Ji(Xi)dxidx^,

F'^ = '2.3 j W{Xi,^i,^2)<6(xi)dxu

En résumé, on conclut :

La dérivée /^'^'«^ cVuiie fonction ¥p est une fonction ¥^'^^ de degré (p — n) en cp (x) et dépendant de n paramètres^ par rapport auxquels elle est fonction symétrique^ comme il résulte du Tableau ci-dessus. En d'autres termes, la valeur de la dérivée reste la même si L'on change V ordre de dérivation.

Cette propriété, qui est ainsi démontrée pour les fonctions (i), est commune aux fonctions F|[cp(^)]| les plus générales; mais nous renverrons le lecteur désireux de s'en rendre compte à la démonstration donnée par M. Volterra (').

De même qu'on peut associer par addition les yo/7?ie5/io/?20^"^/Z(?5 algébriques des divers degrés^ nous pouvons ici former la fonction

(6) F(/,)=2 I hj{xuOCi,...,Xj)^^^{xi)dxi,

en associant yo fonctions respectivement du i*^"", 2*^, . . .,//^'"^ degré. Nous aurons les dérivées de F^^j en dérivant successivement les

(^) V. Volterra, Rendic. Lincei, 2" sem., 1887, p. 104.

termes, c'est pourquoi

\%=ri\^n{lu ...,^«)-+- 2 yO'-0..-(y-/*-^0

Dans le cas où les termes de la somme sont en nombre infini, soit lorsqu'o/i a affaire à une série^ il faut s'assurer qu'elle est convergente et dérivable terme à terme. Si nous avons une série de la forme

'.ih-'-ii^yiiTii^ • • • ' yi,>

elle sera convergente et dérivable terme à terme si

Ir/J<M, I «/./..../,, I<N.

Pour les fonctions F, supposons

\o(x)\<M, l^(.ri, ...,;r,,)|<N

et envisageons la série

Elle sera uniformément convergente. Voyons si elle est dérivable terme à terme : pour cela construisons la série des dérivées premières de tous les termes

Celle-ci est uniformément convergente; donc la dérivation appliquée terme à terme conduit à la dérivée première de F

De même, on obtient pour la dérivée /i"'"^ une série uniformément

SUR LES FONCTIONS QUI DÉPENDENT d' AUTRES FONCTIONS. IQ

convergente

Fi«)|[9(^)J„...,^.]|

OO

X / U^yC^i, ..-, ^y-«; ^1, ..., U) JJ[?(^/)<^^^ Les fonctions F définies par (7) ne constituent qu'une classe spéciale de fonctions qui dépendent de toutes les valeurs de o(x) : il y a des fonctions F pour lesquelles le développement (7) n'est pas valable : par exemple, considérons une fonction F donnée sous la forme (7) et ajoutons-lui Acp(^), où ç est un point de l'intervalle (a, b) ; on a ainsi une expression qui dépend de toutes les valeurs de z> dans («, b) et que l'on peut écrire

a II

Mais <î> n'est pas de même nature que F, comme nous le verrons dans le paragraphe suivant ; pas plus que la fonction

(9) e| [?(^)] I = F] [<ï.(^)] I +2.A,cp(^,) +2.B/ o'i^i) +^C,cp"(^,) OÙ les ^i sont des points de l'intervalle («, b).

Vil. — Calcul des variations d'une fonction F. Envisageons d'une façon générale

F = F|[cp('^)]l,

et faisons varier o{x) dans l'intervalle A==:('ji, v) d'une façon continue, de manière que

Soit AF la variation correspondante de F; nous poserons les conditions suivantes :