VIII. — Extension de la formule de Taylor. Envisageons
comme fonctionde s, et supposons que F |['f(^)]| soit dérivable et assujettie aux conditions posées précédemment. Alors nous
(') Pour les détails des démonstralions, voir > oltkrra, Sopra le funzioni che dipendono da altre funzioni, Nota I {Rend. Lincei, 1887).
SUR LES FONCTIONS QUI DÉPENDENT d'AUTRES FONCTIONS. 25
pouvons appliquer la yb/7/2w/e (^6 Taylor
(hJ lz = Q (ai -4-1)! \ â^î"+V£ = Û
Q étant compris entre o et i .
D'après (4) (§ VII) on a donc
f F(«-^i'|[9(^) + 04.(^), ^„...,U^i]|JJ^(^:,)<-/.
Si, /i augmentant indéfiniment, le dernier terme tend vers zéro,
Cette formule donne l'extension de la série de Taylor aux fonctions qui dépendent de toutes les valeurs d'une fonction.
Les termes du second membre sont des fonctions de divers degrés en '^j{x) et l'on peut, supposant © (^) invariable, considérer F comme une quantité qui ne dépend que de '^{oc). Le développement (2) est alors de la même forme que la série (7)
[§vi].
Si nous prenons o [x) = o nous trouvons
(2') ¥\[^{xy\
fr,J-\-'n 1;/) \^
qui correspond à la série de Mac Laurin.
11 est intéressant de comparer les séries (2) et (2') avec les séries de Taylor et de Mac Laurin relatives aux fonctions de plusieurs variables. En remplaçant dans celles-ci les sommes simples, doubles, triples, etc., par des intégrales simples, doubles, triples, etc., on arrive aux séries (2) et (2').
Cela montre une fois de plus que les fonctions qui dépendent
26 CIIAPITRK I.
de toutes les valeurs d'une fonction ressortent des fonctions de plusieurs variables par un passage à la limite correspondant au passage à la limite que l'on fait dans le calcul intégral pour passer d'une somme à une intégrale.
Les termes du développement (2) sont les résultats d'opérations fonctionnelles appliquées à '^{x) : la première intégrale correspond évidemment à une opération distributive. Les autres termes correspondent à des opérations d'un ordre toujours plus élevé.
IX, — Points exceptionnels.
Il arrive quelquefois que IdiConditionl^^ VII) n'est pas remplie pour les domaines de quelques points de l'intervalle (a, b). Nous en avons vu des exemples dans le paragraphe précédent. Pour envisager le cas le plus simple possible, supposons que, si l'on exclut de («, b) le point c par un domaine li aussi petit qu'on veut, \qs qaatj^e conditions soient remplies dans les autres parties de l'intervalle. On appellera le point c point exceptionnel.
Gela posé, on peut distinguer plusieurs cas :
a. Si, quand la variation de cp {x) a lieu dans l'intervalle /i et est plus petite que s, on a toujours
Jim — =0;
alors, pour toute variation de 'f (^) dans l'intervalle (a, 6), la formule (3) du paragraphe VII est valable.
b. Si l'on a
lim — = «0 i>ni — j
OÙ p désigne la valeur de la variation de ^ {x) au point exceptionnel c, alors
x^ étant l'abscisse du point exceptionnel, vérifie la condition
SUR LES FONCTIONS QUI DÉPENDENT d'aUTRES FONCTIONS. 27
précédente et par suite
oF = I F'|[o(x),f]|ôcp(?)tf^-+-«oO(p(^,).
c. Supposons que les dérivées successives de cp [x) existent et faisons varier o{x) dans l'intervalle h. Soient p, p,, Oo, . . ., p,« les valeurs des variations de 'f (^), '^'{oo)^ ..., o"'\x) au point exceptionnel c et admettons que les variations de o (x) et de ses dérivées soient plus petites que s. Si l'on a
,. AF ,. p ,. pi ,. p,n
lini — = «0 'un - — h «1 lun h ... -h a,/, lim - —
do
rs
vérifie la condition a et par suite
On voit aisément que si, au lieu d'un seul point exceptionnel on en avait plusieurs, on pourrait répéter pour chacun deux ce qu'on a dit pour un seul.
H est bien facile de rattacher à ces résultats les exemples que nous avons donnés dans le paragraphe précédent et que nous avons rappelés plus haut, mais il est évident que ces exemples ne constituent que des cas particuliers des considérations générales que nous venons d'exposer.
Nous allons maintenant démontrer le théorème suivant :
Si F| [cp (^)]| n^a pas de points exceptionnels et si
F'|[cp(^)J]|
est nulle pour toutes les valeurs de ç et pour toute fonction
^{oc)^ ^|[?("^)]| ^^^ ^f^^ constante.
Pour démontrer ce théorème, il suffît de remarquer qu'on peut introduire un paramètre z et considérer ¥ \\^o [x) -\- z 'b (^)]|. En regardant cette expression comme une fonction/ (3), on aura
/(i)-/(o)=/'(^), z étant compris entre o et 1. Cela peut s'écrire, en vertu des
formules du paragraphe précédent [comparer la formule ( i )] ,
et puisque F' = o on aura
d'où l'on tire
il en résulte bien que F est une constante.
La formule (i) correspond au théorème fondamental de Lagrange du calcul ^différentiel et la démonstration que nous venons de donner à celle par. laquelle on prouve qu'une fonction de plusieurs variables est constante si toutes ses dérivées partielles sont nulles.
Si dans l'intervalle (a, ^) il j a des points exceptionnels X,, X2, . . ., X/j et si en tous les autres points la dérivée F'| [ o (^), ç]j est toujours nulle quelle que soit la fonction cp (.r), on ne peut plus conclure que F est constante, mais elle sera une fonction ordinaire des valeurs de o{x) et de ses dérivées jusqu'à un certain ordre aux points exceptionnels. Dans ce cas, F cesse d'être une fonction qui dépend d'un nombre infini de variables pour devenir une fonction de fonction du type ordinaire.
11 peut arriver que F|[cp(^)]| n'ait pas de points exceptionnels, mais que sa dérivée en ait. Il peut même arriver que la dérivée soit une fonction ordinaire du type que nous venons d'envisager. Un exemple classique est donné par le calcul de la variation de
F! [?(^)] I = f H9i^). ?'(^), ?"(^), . . ., ?'"U^), r] dx. On a
^' (di d di d^ d§ \ ^ , . ^
\ ô'f dx d^' dx^ Oo" y T V /
a et b sont des points exceptionnels. Si nous posons
xv-/ .à§dd§ d-^ d^ ^^^ ~ â^ ~ d^ â^ ~^ dF' â^' ~ ' " '
