X. — Problèmes uu calcul des variations des fonctions F

Le calcul des variations ordinaire rentre comme cas particulier dans la théorie précédente des fonctions cjui dépendent de toutes les valeurs cV une ou de plusieurs fonctions.

Nous venons de le voir par l'exemple que nous avons donné au paragraphe précédent, et il est bien facile de le constater aussi dans le cas des fonctions de plusieurs variables.

Mais si en général on se pose la condition d'annuler la variation première d'une fonction F, on ne trouve pas toujours des équations différentielles comme dans le calcul des variations ordinaire, on peut aussi trouver des équations intégrales, des équations intégrodifférentielles et même des équations d'un tvpe plus compliqué.

Nous allons en donner un exemple particulier.

Envisageons F définie par

(I) F|[cp(a7)]l= / ^\x,)^{x,)dx,-^- i / W{x,x.^^{x,)o{x^)dXidxi

fonction de la classe (6) [§V1]. Déterminons o(^x) de manière à annuler la variation S F.

Nous avons

(2) oF= f wa,)o<faod^,-+- f f w(x,,^,)^{^oo'-?aod^idx,

Donc si 8F = o, nous avons

(3) ^(Ii)-+- r ^(:r„^i)9(:ri)c/^i=o.

3o CHAPITRE I.

On trouve ainsi une équation intégrale. La question proposée équivaut donc à la suivante (*) :

Déterminer o{x) qui satisfait l'équation (3), c'est-à-dire/aZ/e V inversion de V intégrale définie (3). L'équation (3) est du premier degré en c(.r), mais on est conduit de même à une équation du p'^""^ degré (§ VU)

^(^i)-4-y ■' , / ^(^1, ...,^y-iji)rT?(^/)^-r,=o

si l'on annule la variation d'une expression de degré/? H- i .

XL — Idées fondamentales sur l'inversion des intégrales définies.

Nous avons étudié d'une manière assez étendue les fonctions qui dépendent de toutes les valeurs d'autres fonctions ; dans cet ordre d'idées le premier problème qui se présente est le suivant:

Etant donnée une fonction

trouver une fonction u{x) finie et continue dans V intervalle (rt, b) qui vérifie la relation (i). F désigne ici V opération fonctionnelle appliquée à l'inconnue u(yx) et il s'agit de faire l'inversion de l'équation fonctionnelle (i ). Le problème correspondant pour les fonctions ordinaires consiste à tirer x en fonction de y de la relation y ^=zf(^x). Naturellement pour aborder ce problème il faut définir la forme de la fonction/, et de même dans le cas qui nous occupe il faut préciser la forme de V opération F. Pour cela rappelons qu'on a rangé les fonctions F en fonctions développables en séries intégrales et en fonctions non développables (§ VI) ; nous supposerons ici que F soit une fonction développable et, pour fixer les idées, s'exprimant par la série intégrale suivante :

(2) \xo{x) = \u{x)^\ \ K,(a;, ^i)zf(^i)^^i-t-...

> « p^' pi'

^Kn

(') V. VoLTERRA, Sopra un problema d'elettrostatica {Transunti Lincei^ t. VIII, i884).

SUR LES FONCTIONS QUI DEPENDENT D AUTRES FONCTIONS. 3l

OÙ ^{x) est la fonction {connue) qui résulte de l'application de l'opération F à V inconnue u(x); K,, ..., K,i sont des fonctions connues quelconques, mais symétriques par rapport aux variables d'intégration Çi, ?2j • • -^ ?« 5 ^ j y- sont deux paramètres auxiliaires qui pourront ensuite être égalés à i .

Le problème réduit ainsi à la forme (2) est encore bien compliqué. De même ^que pour les fonctions ordinaires, le cas le plus simple pour l'équation

est le cas où f est du premier degré en x^ de même pour les fonctions F on est dans le cas le plus simple lorsque

K2= G, K3= 0, ... ; alors, en désignant K, simplement par K, on aura l'équation

(3) ixo(x) = lu{x)-^l f K(x,'^)ua)dl

OÙ la fonction inconnue u(x) n'est contenue q u^ au premier degré ; l'équation (3) est appelée équation intégrale linéaire.

Or, remarquons que le développement (2) appartient à une classe déjà étudiée (§ VI); pour obtenir cette classe nous sommes partis d'une forme transcendante algébrique^ et nous sommes passés à la limite en faisant croître indéfiniment le nombre des variables^ et ce passage à la limite a transformé les sommes simples, doubles, multiples, respectivement en intégrales simples, doubles et multiples.

Donc, \e problème d'inversion de V équation intégrale générale (2) est par rapporta l'inversion de l'équation linéaire (3) précisément ce qu'est., dans l'analyse ordinaire., le problème général de V inversion d'une fonction transcendante par rapport à l'inversion d' une fonction linéaire.

L'inversion de l'équation (2) sera traitée à la fin du Chapitre lli. Envisageons maintenant l'équation (3). L'idée toute naturelle qui est suggérée par la considération des fonctions des lignes est de considérer l'équation linéaire (3 ) comme cas limite d'une expression algébrique, obtenue en partageant l'intervalle («, b) en

7? intervalles Aj, ..., h,i^

la résolution de V équation intégrale (3) est ainsi ramenée à V étude dC une équation algébrique linéaire à une infinité d^ inconnues.

Avant de passer à la limite pour /i = oo et en donnant à x les valeurs ^1, ^25 •••1 i«) oii peut écrire, au lieu de l'équalion intégrale (3), le système algébrique

(3') <^(Xs) = uas)-v-^K{h,h)uai)hi

En résolvant ce système on trouve les valeurs de

correspondantes à l'équation (3) et la limite de la solution^ si elle existe, pour n^^aosera solution de V équation intégrale proposée.

La voie est fort simple et naturelle, mais fondamentale , parce qu'elle peut être appliquée à bien des cas.

Mais avant d'exposer ces théories d'une façon systématique, il faut indiquer ici la distinction qu'on fait aujourd'hui entre les équations linéaires :

Les équations de la forme (3)

(II)F ^{x) = u{x)-^l f K{x,'c,)ua)d^

sont appelées de deuxième espèce^ tandis que celles de la forme

(I) cp(a;) = X f K{x, ^)u{\)d^

sont appelées de première espèce. Cette distinction est due à M. D. Hilbert, qui a appelé noyau la fonction K(^, ^), connue autrefois sous le nom àe fonction caractéristique (').

(') S. PiNCHERLE, Acta Math.^ vol. X; Mémoire Accad. Bologna, série 6, III.

SUR LES FONCTIONS QUI DÉPENDENT d'aUTRES FONCTIONS. 33

Si les limites a, b de l'intégrale sont toutes deux constantes^ les équations (i i) et (i) sont dites du type de M. Fredholm. Mais si a, b ne sont pas toutes deux constantes, les équations s'écrivent:

(I)V '^{x) = 'k rK{x,\)u{Qdl

et s'appellent équations du type deM.. Volterra.

M. Volterra étant guidé par les idées que nous venons d'exposer, qui découlaient de sa théorie des fonctions des lignes^ a été le premier à considérer les équations intégrales comme le cas limite d'un nombre infini d'équations algébriques (*) et à donner la solution générale de l'équation de son type en partant de cette conception.

Les solutions des autres équations intégrales ont été développées en transportant aux autres cas la même conception, la méthode qui s'ensuit et les principes qui en découlent.

INous exposerons dans le Chapitre suivant (§ II) cette méthode et ces principes.

M. Volterra a envisagé l'équation (2) de type transcendant dans un travail ultérieur (-).

(') Atti délie R. Accademia délié Scienze di Torino, t. XXXI, 12 janvier 1896, p. 3ii et suiv.

(-) Comptes rendus de l Académie des Sciences, t. CXLII.