I. — L'kquation d'Abel
L'inversion d'une intégrale définie a été étudiée pour la première fois par N.-H. Abel('), à propos delà question suivante de Mécanique :
Détermineî' une courbe située dans un plan vertical^ telle qu^un mobile pesant obligé à la parcourir arrive au point le plus bas O dans un temps qui soit une fonction o(/i) donnée de la hauteur initiale h au-dessus de O. On suppose qu^ au départ le mobile ait une vitesse nulle.
Prenons un système d'axes coordonnés x^ y dans le plan de la courbe, x étant horizontal, y vertical et dirigé de bas en liaut. L'équation de la courbe sera
Soit s l'arc de la courbe on aura
en posant
ds=^dyi/ i-^ (^-^j =u{y)dy.
Si nous appliquons le principe des forces vives, en calculant le temps o i^h) de la chute, nous avons
(I) /^oih)= f
' u (y ) dy
(*) N.-H. Abkl, Solution de quelques problèmes à l'aide d'intégrales définies (1823) {Œuvres, Christiania 1881, t. I, p. 11); Résolution d'un problème de mécanique {Œuvres, t. I, p 97).
On trouve donc une équation intégrale dont l'inconnue est «. Multiplions les deux membres de l'équation (i) pai^
dh ,
et intégrons entre les limites o, z\ alors
, , /— r^{h)dh r dh r
Jo \i z — Il Jq \J z — Il t/o
' M ( y ) dv
\J z — h Jq \I h —
Pour arriver tout de suite à la solution, nous ne suivrons pas la méthode d'/Vbel : faisons dans le deuxième membre de l'équation (2) la transformation
sj II — j^ = r sinnr,
sj z — h = /• COSTTJ,
dont le caractère géométrique est bien évident; nous avons
flJJ--l = / u{z — i''^)rdrdxs—ir,l u{z—r'^)rdr
et, en posant ;; — /•- = ;, on aura
^ Jq sJ z — h Jq d'où, par dérivation,
formule qui résout le problème. Dans le cas particulier où l'on cherche la courbe tautochrone^ il faut supposer çp(A) = c, c étant
une constante; on trouve alors w(g) = - — — —— et par une inté-
gration très facile de l'équation difiereniielle
I dx \ ^ \/'i i( T
on constate que la courbe est une cycloïde,
Abel a résolu aussi l'équation intégrale plus générale que
l'équalion ( i )
mais il employa la méthode des développements en séries, qui n'est simple ni rigoureuse, comme l'a remarqué Schlomilch (*). Nous allons employer la relation suivante de Dirichlet :
I dy §{x,y)dx= dx i §{x,y)dy.
Lorsque ^'(^,j)=/(^)cp (y )'i^(:r,jK), elle s'écrit (5') Ç ^{y)dy Ç f{x)^{x,y)dx= Ç f{x)dx Ç ^{y)^{x,y) dy.
11 est très facile de la démontrer en remarquant que l'intégrale (5) est une intégrale étendue à un triangle ayant pour côtés l'axe jK, la bissectrice des axes coordonnées, et une droite parallèle à l'axe X située à la distance a. On la démontre aussi en parlant de la formule
ni n n
Reprenons l'équation (4)
Multiplions les deux membres par
dx
, . (z-xy-c^
et intégrons entre les limites o et z. On trouvera
r^ o(x)dx r" dx r"" u{\)d\ ^
J^ {z-xy-^-J^ (z-xy-^J^ {x-^)c^''
(*) Schlomilch, Analytische Stiidien (i848). Ce géomètre obtint la solution en particularisant une formule de réduction des intégrales multiples.
ÉQUATIONS INTÉGRALKS DE VCLTE«RA. 87
d'après la formule (5) on a
dx
Or, en posant
Donc, en dérivant l'équation (j3),
s'moir. d r^ o(x)dx
On a ainsi la solution donnée par la formule d^Ahe\. Pour supprimer toute difficulté dans la dérivation de l'intégrale
o(x) dx (z — x)^-
qui contient un élément infini, on peut employer la notion de partie finie {^ ), due simultanément à MM. Hadamardetd'Adhémar; en posant entre [ ] la partie finie d'une intégrale infinie, on trouve
d r' o{x)dx r r" / N ^ ' ^1
cp(o) y^" 'X)'(a^)c?r
donc
.„, , , sina- cifo) sinar T" o'ix)dx (6 ) m( 2) = H ! / — .
Remarquons que la solution n'est pas régulière en x=zosi cp(^) n'y est pas nul.
(') J. Hadamard, Congrès de Mathém., 1904. — R. d'Adhémar, Exercices et leçons d'analyse^ p. i5o et 180.
Liouville en 1882, en étudiant une classe étendue de questions physiques, a été conduit, sans qu'il connût les travaux d'Abel, à résoudre l'équation d'Abel. Nous allons traiter un des problèmes de Liouville :
Une droite indéfinie y, sur laquelle il y a une distribution de masses uniforme et symétrique par rapport à Vaxe des x^ est attirée par un point A situé sur cet axe à la distance x, U attraction sur chaque point de y dépend de la distance au point h.^ mais la loi en est inconnue. U attraction totale '\{x) étant donnée^ déterminer V action élémentaireY [r) du point Pi. sur un point M de la droite., situé à une distance r de A.
Fie:. 3.
On peut écrire et, par la transformation
Ou" —~ IJ m
qui donne
en désignant ^^ par «(^) et i-i^ par C2(^), on trouv
C'est une équation intégrale en u d'un type tout à fait analogue à celui d'Abel.
Remarquons que l'intégrale précédente aura un sens si u (^) devient infiniment petit d'ordre — h ^(s>o), ç étant l'infiniment
grand principal. Liouville obtint la solution de cette équation en employant les développements en séries; ici nous ferons usage de \di formule de Dirichlet comme pour l'équation (4) : alors, après des opérations analogues, on obtient
r " o(z)dz r " dz Ç * i
dz
= -f ua)d'^,
d'où l'on tire
formule qui donne l'action élémentaire de A sur la droite y. Pour que l'opération d'intégration soit applicable au premier membre de l'équation ('y), il suffît que 'f (5) devienne infiniment petit d'ordre
- + î (£^ o) à l'infini.
Remarquons qu'on pouvait ramener l'équation (^) à V équation c^'Abel (4), par la transformation
Liouville avait en vue, par les calculs dont nous venons de parler, de fonder la théorie des dérivées à indice fractionnaire et en général à indice quelconque. L'élégance de son analyse a conduit plusieurs géomètres, comme Riemann , Holmgren , LetnikofT, Hadamard, Pincherle, etc., à employer les dérivées qu'il a introduites.
L'application de la formule d'Abel a été l'objet non seulement de recherches de Physique mathématique, mais aussi de recherches d'ordre analytique comme le montrent les travaux de Schlomilch et Beltrami sur les fonctions cylindriques et ceux de Dini sur la représentation des fonctions d'une variable réelle.
4o CHAPITRE II.
II. — Équation de Volterra de deuxième espèce. — Trois principes
