FONDAMENTAUX

Etudions l'équation de Volterra de deuxième espèce

(i) o{x) = n(T)^ f K(a',^)ua)dl

Le noyau R(.z', ^) étant une fonction finie et continue dans l'intervalle

où b est une quantité finie. Ainsi la fonction K est définie dans le triangle compris entre Taxe des x^ la bissectrice x=^\ el une parallèle à l'axe des ï, x^=b\ dans ce triangle l'on a, M étant finie,

Nous allons approfondir l'idée qui conduit, comme on l'a dit (Ghap. I, § XI), à la résolution de l'équation (i), c'est-à-dire celle qui découle tout naturellement de la théorie des fonctions qui dépendent de toutes les valeurs d'une fonction et qui a servi à constituer une méthode générale pour la résolution des équations intégrales. Il faut pour cela considérer d'abord le système algébrique suivant :

(«) ^{\s) = u{\s)-^^\^iXsAi)u{\i)hi.

qui s'écrit sous la forme

en posant

(P) '^ih.h)hi=a,i.

EQUATIONS INTEGRALES DE VOLTERRA,

Le délerminant des coefficients est

donc

uas) =

d'où

O cp(^,) o o cp(^,) o

«/il «/i2 • ••• ««(.î-1) ?(ç«) «/i(,9-(-l)

«.si «A-2 «i-3

et, en désignant par Cj/ le mineur de A ;j) relatif à cp(^/) (/= i , 2, ...,5), on a, remarquant que Css= 1 ,

"(b)= '?(^s)-^^C,iO{^i) (^ = 1,2, ..., Aï).

Donc le problème est ramené au calcul des quantités Csi en fonction des asi, soit au calcul des mineurs relatifs à la dernière colonne du déterminant A ^^^ :

csi= i—iy

Csi est un polynôme de degré s — / par rapport aux