AA
Nous allons le décomposer en une somme de polynômes homogènes de degré 1,2, 3, ...,5 — i que nous désignerons respectivement par a^/, aj, ..., a^^~'^ : pour cela développons le déterminant suivant la dernière ligne :
Csi = — ^si ~^ ^i;,l-hl <^i+\,i — ^5,i-(-2
c'est-à-dire Or posons d'où
<^5— 1,1 ^5-1,2-Hl <^i— 1,/-4-2 .V — 1
Cri — <^,i ^ ^*'ri ^ • ' '
ir-i) ri
en substituant ces expressions dans (ô), on aura
d'où
ri
r=i-hl
«cz-a
O =— 2 asra\'-'^ ,
EQUATIONS INTEGRALES DE VOLTERRA. i>
qui constituent des formules de récurrence pour calculer les polynômes homogènes a^/, a^f ;, . . . , «^^"'^ . Leur ensemble s'écrit
On peut trouver une formule de récurrence plus générale en remplaçant rtj'^"*' par
et en répétant la même opération, on arrive évidemment à la formule générale
En résumé, les quatre formules (r,), (s), (o), (y) donnent
si '
Cgi -h dgi — ^ ClqrC,
Mais, en résolvant le système algébrique (y) par rapport aux 'f (?/), on doit retrouver les équations (a) ; on aura donc quatre formules
analogues aux formules ci-dessus et qui s'en déduisent en remplaçant c par a et a par c ; soient
En écrivant
toutes ces formules deviennent, en divisant par hi qui est commun aux deux membres,
(6) U(^s) = ?(^5)+2S(^„ $,) ^arjl^n
et les formules analogues (3'), (4)7 (^ )? (6') s'écrivent en éclian-
ereant K en S et u en o
Or l'on est en état de passer à la limite pour n = œ, en faisant décroître indéfiniment /i,, ..., /^„.Les sommes qui entrent dans les formules (3), (4), (6), (3'), (4'), (6') donnent des intégrales,
tandis que celles qui entrent dans les formules (5) et (5') donnent lieu à des séries infinies; on trouve ainsi
(7) ^''H^.\)=J K^^Kx,z)Ky^-k^{z,'^)dz,
(8) S(:r,0+K(:r,0=-y' K{x, z) ^{z,^) dz,
(9) ^{xA)=^\^^J^{x,\\
(10) u(x) = ^(x)-+- I S(^,0(p(0«^;, et d'une façon analogue
(;') S(/'-)(:r,0= f S^^Hx,z)S^^^-^-^(z,i)dz,
(8') K(^,0 + S(^,0=- r S{x,z)K{z,^)dz,
(9') K(xrO=^^'-^K^A),
(lo') <f(x) = u(x)-h f K{x,^)ua)dl
La question se réduit maintenant à étudier si les séries (9) et (9') sont convergentes et si la solution obtenue vérifie l'équation proposée. Nous allons répondre affirmativement en vérifiant directement les formules précédentes et en démontrant la convergence des séries, en faisant voir de plus que toute la théorie se résume en trois principes fondamentaux :
T. Principe de convergence. — Construisons par quadrature les expressions
K(2)(:r,0=-y K(x,z)K^^\z,V)dz, (^^) I K^^^(x,^)=-j\{x,z)K(^\z,^)dz,
;(a7,0=- r K{x,z)K^i-^^{z,^)dz,
qui seront des fondions finies et continues dans le champ donné. Pour y compris entre i et /, on a la formule de récurrence suivante entre les noyaux itérés R^'^ (:r, \) :
En effet, cette formule est évidente pour f= i ; démontrons par induction que, si elle est vraie pour /=/i, elle est aussi vraie pour i = Al 4- 1 ; d'après (7^) on a
et comme on a supposé que (70) soit valable pour « = /z,
K(«+i'(^,0= / }^^Kx,z)dz K.^J^{z,z^)\^^'^-J\zy,l)dzy,
en appliquant \di formule de Dirichlet (§1);,
K(«-^i)(iP, ^)= r K^"--J'{Zi/ç)dzi f K^i^{x,z)K^JU^z,Zi)dz
Donc K^'^(^, ç) admet / déterminations formellement distinctes. Or, puisque dans le triangle
on a par hypothèse
iK(x,OI<M,
on a aussi
I K'"(^, ^)I < / MMdz <M2(.r — 0,
Enfin, en remarquant que la série majorante
converge d'une façon uniforme, on conclut que la série des noyaux itérés
est uniformément convergente et représente^ dans le champ donné^ une fonction finie et continue S(x,^) [qui est précisément le noyau résolvant^ comme le montre la formule (lo)].
II. Principe de réciprocité. — La formule (5) nous donne S(^,^) en fonction de K(.r, ?); voyons si l'on peut obtenir R en fonction de S : pour cela remarquons qu'en posant
on aura, en vertu de la convergence uniforme. Mais on peut écrire
donc en posant dans la formule précédente y = /?,
= f Sia-,z)KM(z,^)dz, et en faisant n = i , on a
<Ha) S{x,^)-\-K{x,^)=— / S(x,z)K{z,^)dz
= — / K(x,z) S(z,^)dz.
Or, construisons par itération^ comme pour les K/, les fonctions
■ SU)(^,f)=-S(a',0,
(;;) j S'3;(;r, 0 =f Sd^^, z) S'2)(5, ^) dz,
pour lesquelles on aura
(7/,) S'^H^A)= f SU^(x,z)S^i-J\z,Odz (y = i,2,...,0,
et formons la série [qui converge évidemment uniformément (Principe I)]
Nous pouvons démontrer que lafonctionT(x^^) coïncide avec la fonction K(x, \) dont nous sommes partis^ c'est-à-dire que
En effet de (9^) on peut déduire une formule analogue à (8^) :
(II) T(^,0 + S(^,0 = - r S(.r,z)T(^,0«?-
en soustrayant (8^) de (i i), on trouve
= <j{x,^) = — I S{x,z)a{z,^)dz
= I S(x,z)dz ii{z,Zi)c!{zi,E)dZi
= — / S(x,z)dzl S(z,z^)dzi S{zu Z2)r7{z2,^z)dZi
ÉQUATIONS INTÉGRALES DE VOLTERRA. j9
Or, dans le triangle o ^ ^ ^ ^ ^ 6, on
où 7^2, N sont deux quantités finies; donc
dz / dzi / dz,.. . / dz,i-u
quelque grand que soit n^
I o-^^r, ç)| <; j — '■ — et comme Jim — j — ■ — :=:o,iliautque
l'on ait
c'est-à-dire
/=; 1 Donc on a les deux formules récipi'oques
où
e^ l^on trouve que
(i3) K(:r,0 + S(;r,^) = - f Six,z)K(z,^)dz=- f K(x, z)S(z,^) dz.
En prenant arbitrairement une des deux fonctions K, S, on peut calculer l^ autre par des quadratures.
