III. Principe d'inversion. — Envisageons l'équation

(0 cp(a:)=w(^)+ r Kco-, 0"(o^^,

et multiplions les deux membres de cette équation par

S{z, x) dx;

il vient alors, en intégrant entre les limites o, z,

Jf [^(x) — u{x)]S{z, x) dx = I S{z,x)dx I K(x,^) u{q) d^, 0 «^0 * 0

et, d'après la formule de Dirichlet,

= / "(O*^^? / K(x,^)S{z,x)dx, ou bien, en employant le principe de réciprocité [formule ( i3)],

Ç [uix)-o{x)]S{z,x)dx= f w(e)[K(2,0 + S(^,f)]^;, c'est-à-dire

I S{z,x)^(x)dx=— 1 K(z,^)u(l)d'^ = uiz) — ^{z).

On en conclut que l'inversion de V équation intégrale

(A) ^{x) = u{x)-^ f K{x,\)u{\)dl

est donnée par la formule

et que réciproquement l'inversion de l'équation (B) est donnée par (A). Les résultats obtenus par la méthode algébrique se trouvent ainsi complètement vérifiés.

Nous pouvons considérer S (:r, \) comme une fonction cpii dépend de toutes les valeurs que K(.r^ Ç) prend dans le domaine donné (Chap. 1)

S(^,0 = F|[K(^,0]l, on a aussi réciproquement

EQUATIONS INTEGRALES DE VOLTERRA. 51

F désignant F opération fonctionnelle par laquelle on passe

deK(^, ;)àS {x^ Ç) ou de S(:r, i) à K(^, ^), on a

Cette opération fonctionnelle, appliquée une fois au noyauUni et continu K de l'équation intégrale donnée, donne, comme nous venons de le voir, le noyau résolvant S qui en résulte comme fonction finie et continue ; appliquée deux fois kK, elle reproduit K lui-même

Unicité de la solution. — L'équation (B) donne l'unique solution finie et continue de l'équation (A).

En efl'et, supposons qu'on ait deux solutions distinctes:

alors, en posant U2 — w» = u^-, on aura l'équation en u^ :

iH{x)=- f K{x,^)u,a)d'r= f K{x,l)d'cf Ka,z)u,{z)dz,

et, d'après la formule de Dirichlet,

= f u^{z)dz f K{x,\)KCr,z)d^^ = f K(^-){x,z)u.Az)dz= f K(2'(^, Ow3(ç)^;, et ainsi de suite. On obtient finalement

quelque grand que soit n ; or,

\u,\<m, lK^.)|<__-^,

OÙ /7î, M sont deux quantités finies ; donc

l«3(^)|<mM-.J^ L iLrf. = ____,

et, puisque n peut être aussi grand que l'on veut,

^3(57) = o, c'est-à-dire

Ui{x) = U2{x). C. Q. F. D.

Cas oii le noyau K [x, \) est fonction de x — \. — Quelquefois il arrive que K(^,$) n'est fonction que de la difï'érence ix — ^), c'est le cas par exemple qui se présente dans la théorie de la mécanique héréditaire du cycle fermé (voir le dernier Chapitre). Alors

et, en posant

K<2)(ç.)= r '^^^-'{v — u)¥S^\u) dir,

doue YsS^^ est fonction de (^ — ^). En général,

(i4) K^^'K(^)==K('-)(:i7— 0= r \i.^JKv — u)K^i-J\u) du {j = i,2,...,i-i), et, par conséquent,

^{x,\)=^K^Hx-^,)=^{x-^).

Si le noyau K est fonction de la différence {x — Ç), le noyau résolvant S est aussi fonction de [x — Ç) ; si l'on a donc

il en résulte

u{x) = o{x)-^- f S{x-^)^a)dl

Supposons que le noyau K(^) soit une fonction analytique

dans l'intervalle donné

(i5) K^i^iv) = G,o+ CiiPH- Gi2t'2-4-. . .,

et qu'on veuille calculer les noyaux itérésYJ^^^ ^ ou bien les coefficients de leurs développements en série : pour cela, on utilisera la formule ( i4)

KU--f-i)(p)= r K(j+i)(v — ii)Ki-JUu)du (y =o, 1,2, . .. , i — i) qui, en j faisant^ = o, s'écrit

et l'on voit qu'on peut écrire

h=o donc, d'après la règle de la multiplication des séries,

Or, en posant u = i^t, on a

Vin — /i-f- ô V(h -»- i)

=z çn-i-i 1 i •

{n-i-iy

on en conclut

mais

donc

( /i -f- 0 • G/+i,„ =2 Ci^n-h{n -i-i — A — I ) ! Gi/^ /? !

En posant

on a la formule

(16) Bi+i,n=2^Bi^ri-h^\,h,

pour calculer les coefficients B et par conséquent les coefficients G. Pour le calcul du noyau résolvant S{v) = S(.x — l)^ construisons les séries

(17) ^i(^)=^B,^„çf^, A,(ç)=^Bu^i^'^;

leur produit donne

n — Oh = o 71 = 0

c'est-à-dire donc

Remarquons qu'on suppose a priori c^iie la série K^*- soit convergente dans le cercle donné; or, il peut arriver que A.,((^) ne soit pas convergente : dans ce cas le procédé que nous allons donner, en employant les formules précédentes, devient exclusivement formel, mais il est toujours valable.

L'expression de S(^ — ^) est

00 oî 00

et, en posant

on a

(-9) s(^)=ÊrS^"-

Or, formons la série

ou bien

nous avons

oc 00 90

«=1 h = ù nz=l

(]; ( ^') = A, (p) -h pAf (^) -f- ç^2 Af (t>)

I — t'Ai(^')

formule qui résout, avec les précédentes, le problème. En effet la formule (i5) nous donne la valeur de R^^^(i^): en multipliant le coefficient C,,/i i (A = i , 2, . . . , 00) de K^*^ par [h — i) ! on a A, ( (^) [formules (16) et (16')]; enfin on calcule ^ {v) par la formule (20), et S [v) en divisant le coefficient D^ (A = i , 2, ... . , 00) de ^ (^) par (A — i) ! On tire de là la règle formelle suivante pour passer du noyau K au noyau résolvant S :

K(P) =y anv'\

On voit immédiatement que le procédé est réciproque, car

Jusqu'ici nous avons supposé que le noyau K(x, ç) de l'équation de deuxième espèce était continu dans l'intervalle donné

remarquons que les résultats ne changent pas, si, tout en restant fini, le nojau K(^, ?) a un nombre fini de discontinuités, ou plus en général s'il est intégrable, l'ordre des intégrations par rapport aux deux variables pouvant être inverti.

M. G. -G. Evans a étudié aussi le cas des infinis du noyau (^).

III. — Équation dk Volterra de première espèce. Envisageons l'équation intégrale

(I) o(x)= f K(a;,^)ua)dl,

supposons que le noyauJs. so\l une fonction finie et continue dans

l'intervalle donné, ainsi que sa première dérivée r— > et que l'on

ait o(o) = o. Appliquons-lui les idées fondamentales déjà développées (Ghap. I, § XI; Ghap. II, § II) sur la résolution par voie algébrique ; le système d'équations linéaires algébriques qui conduit à la résolution de l'équation (i) s'écrit (-)

ou bien

ÇC^) =«ii w(^i),

?(U) = ««1 w($i) -H... -+-«/,« ii(u),

(^) G.-G. Evans, Volterra's intégral équation of the second Kind with dis~ continous kernel {Trans. of Americ. Matheni. Society, 1910, 191 1).

(^) Cf. Volterra, Atti délia B. Ace. di Torino., 1895-1896, Note I, p. 3i5.

ÉQUATIONS INTÉGRALES DE VOLTERRA. 5j

en posant

Il est facile d'obtenir la solution algébrique de ce système et d'en tirer à la limite la solution de l'équation (i). Remarquons tout d'abord que le déterminant des coefficienls du système ( i') est

Pourtant, nous verrons ensuite que l'équation intégrale peut avoir, dans quelques cas, une seule solution, même si l'on a K(:r, x)= o.

Nous n'appliquerons pas directement le procédé algébrique. Nous commencerons par réduire l'équation (i) à une équation de deuxième espèce ('). En effet dérivons (i) par rapport à x, nous aurons

^'{x) = K{x,x)u{x)+J \l'^^H^)dl,

d'où

Ontrouve donc une équation de deuxième espèce qui n'a pas de singularité si l'on suppose K. (^, x) ^ o.

Un autre procédé consiste à intégrer par parties et à poser

u{\)d\ = id{x).

On trouve

équation de deuxième espèce qui donne %[x). Par dérivation, on calculera l'inconnue u(x). Nous voyons donc que la condition K(a7, ^)^o est suffisante pour qu'il y ait une et une seule solution.

(') V. VoLTERRA, Bendic. Lincei (1896, i" sem., Note I). Il est facile de voir Topération qui correspond à cette opération dans le système algébrique.

En appliquant à l'équation (2) les procédés et les résultais que nous venons de développer sur l'équation intégrale de deuxième

espèce (§ II), on peut dire que si -— est finie et continue^ lUinique

solution finie et continue {dans l'intervalle envisagé) de Inéquation (2) et par conséquent de V équation (r) est

K(ic, x)