KU)(^,^)^

K'^'(a^, 0 =J K^'-/"^(^, z) KW(^, ^)dz (y = i, 2, . . ., i - ^).

De même, en supposant que —p soit finie et continue^ la solution de l'équation (3) est

K^^'ixA) =

dK(x.^) ai

et l'on a

Donc la solution de l'équation (i) peut prendre les deux formes (4) ou (5).

M. Volterra, dans ses premières recherches (^), avait résolu l'équation (i) grâce à son idée fondamentale de la considérer comme cas limite du système algébrique (i"). Il avait donné : 1" les

formules d'inversion (4) et (5) et la démonstration de la conver-

gence uniforme des séries N K/ correspondantes; 2^ la démons-

(') \'. VoLTKRRA, Atli Accad. Torino, Note I, t. XXXI, 1896.

EQUATIONS INTEGRALES DE VOLTERRA. 59

tration de l'unicité delà solution el de C existence par un procédé direct de vérification.

Appliquons les formules trouvées au cas particulier

(G) cp(^)=: r\i[f{x)-fa)]ua)di.

Nous avons admis que ¥^{x^x)^o : cela revient à supposer ici que K.(:c, jc) = K(o) =: M, Métant une quanlité qui n'est pas nulle. Puisqu'on peut diviser l'équation (6) par M, on pourra toujours supposer K (o) z= i .

On peut résoudre l'équation (6) directement ('), mais il est préférable de la réduire à la deuxième espèce. Si l'on suppose K (o) = I , on écrira

X'^ àK.

—.nx)ua)di

d'où l'on tire

{X) = ^'{x) +/V) f e[f(x) -/a)]o'a)di

si{z) =

{z)=l Si-j{z—u)Sj{u)du (y =1, '2 . ., i' — i).

On pourrait étudier l'équation particulière (6) dans le cas où le noyau K. est une série de puissances de son argument, mais pour cela nous renverrons le lecteur aux travaux de M. Volterra (-), où il trouvera aussi une vérification du procédé employé. Remarquons enfin que si l'on a l'équation

(8) cp(^)=/ K{x,^)ua)dl

(^) V. Volterra, Torino, Noie I.

(^) V. Volterra, Annali di Matem. (art. III, p. 174-171'^).

en posant /(a?) =:^ y, et dans l'hypothèse que l'on peut en tirer de façon univoque x =^à (y), on trouve

équation de la forme (i).

Cas où le noyau devient infini (^). — Supposons que K(^, ^) devienne infini d'ordre a inférieur à i pour x =^^^ x — \ étant l'infîniment petit fondamental. Alors on peut écrire

K(^.0=(-|^^ (o<.<.) et l'équation s'écrit

G (^7, i) étant continue, ainsi que sa première dérivée — j dans le champ donné et telle que l'on ait

|G(r,OI<M,

Nous allons indiquer un procédé permettant d'éliminer la singularité pour a: = ^.

Multiplions par — — ^^ l'égalité (9) et intégrons entre les

limites o, z.

Nous aurons

r^ t^{x)dx r= dx r^ G(cc.^) ,,...

J^ iz-xy-o^~,{ (^^)i-aj^ (^^)a"^^^«^

et^ d'après la formule de Dirichlet,

(^(x)dx r" f>^ ir r^ G{x,^)dx

r-j[x)dx r- f^ G(x,^)d:

(') V. VoLTERRA, Atti Accad. Torino, t. XXXf, 1896, Note II.

ÉQUATIONS INTÉGRALES DE VOLTERRA. 6l

Posons

nous obtenons finalement l'équation de première espèce

(10) f{z)= rh{z,\)u{^)di

dont le noyau L (^, ç) est fini. En effet posons il viendra

En remplaçant G par la constante M supérieure à son module, on a enfin

IL(5, 0|<M f —^ = M-r^— .

'''^1^ J^ i^i — ty-aty. sinau

L est donc finie. On voit aussi facilement qu'elle est continue et l'on a de plus

sina-

Remarquons que, d'après l'équation (lo), /(z) sera infiniment petite d'ordre a par rapport à z, si l'on suppose c5(o) ^ o. Il est très facile de démontrer, pour la légitimité du procédé employé, que toute solution de (lo) satisfait l'équation (9). L'équation (10)

est évidemment réductible à la deuxième espèce, C9.r f'(z) et —

sont finies et continues dans l'intervalle donné.

En effet, en intégrant par parties le deuxième membre de (a), on trouve

f{z)=- I ^' ( x) (z — x)^ dx, d'où par dérivation

Donc f {z) est finie et continue. Dérivons (y) par rapport à z^ il viendra

àz ,A Ox \\ — t

et, comme— <CJ^5

'>L^-'«^<Nr7-^v-^*=''"-^'^'

d^ .,/„ \ 1 — t ) sinaTT

donc ^- est finie dans l'intervalle donné. On démontre qu'elle est

oz ^

aussi continue. Alors on peut appliquer, pour résoudre l'équation (lo), le procédé connu, et la ramener à l'équation de deuxième espèce

qui, résolue, donne w (5) sous la seule condition L (:;, -g)^ o ou bien G (^, ^) ^ o; pour obtenir la formule d'inversion de (9) on se sert des relations (a), (j3), (0); nous ne développerons pas les calculs.

On voit aisément ç[\xq V équation d^Abel correspond au cas de G = i. Il est intéressant d'étudier le cas particulier

M. Sonine (') en 1884 étudia ce cas en employant des séries de puissances. Soit

(e) o(a7)=2A/^S Ao=i

et calculons le développement

(« iàô =2 '''■"'■' ''"='•

(^ ) SoNiNK, Sur une généralisation de la formule d'Abel {Acla Matliem., 1884),

ÉQl ATIONS INTÉGRALES DE VOLTEHRA. 63

Si a, V sont deux nombres positifs tels que ti. -h v = i , en posant

on trouve

et par suite

: f K(x — z)S{z — 'ç)dz

r fa)d\= f\[x-z)dz fya)S(z-^^)dl Donc l'équation fonctionnelle

(12) ?(^)= f Mor-^)ua)d\

est résolue par

celte formule devient celle d'Abel lorsque la série 'f (^) se réduit à son premier terme

Mais la formule que l'on tire de (i i), en supposant

est plus générale que celle de M. Sonine, parce que pour l'établir il n'est pas nécessaire de partir du développement en série de Taylor. Lorsqu'on suppose queG(j7 — ■^) est développable en une série de puissances, on trouve les formules (s'), (Ç'), (12), (12') par le même procédé que nous avoiis suivi à la fin du paragraphe précédent.

11 faut remarquer qu'il n'est pas nécessaire que les développements (s) et (Q soient convergents. La règle pour passer de la fonction Kà lafonclion S devient une règle formelle tout à faitanalogue à celle que nous avons donnée dans le paragraphe précédent (').

Cas où le noyau K(;r, x) =: o. — Supposons que l'équation

(') V. VoLTiiRiiA, Annali di Maternât. , art. III.

€>i CHAPITRE II.

admette dans l'intervalle ob un nombre fini de racines ordonnées par ordre croissant; alors la résolution de l'équation

pour

O < 37 < iTi

rentre dans le problème que nous venons de traiter; mais il n'en est pas ainsi lorsqu'on veut déterminer u[x) pour des valeurs de x^Xi. Il suffit évidemment de résoudre (i) dans le cas où K(:r, x) s'annule seulement pour x = o, c'est-à-dire quand

L'étude des cas où la question est résoluble a été fait par M. Volterra (*), mais pour l'exposition de ses théorèmes nous suivrons l'analyse de M. Lalesco (^), qui les a déduits de la théorie des équations différentielles linéaires :

Considérons d'abord le cas particulier où K(^, ^) est un poljnome en x de degré n

OÙ les fonctions a/ sont régulières à l'origine. En dérivant l'équation (i) (ai 4-1) fois par rapport à x, on trouve

cp"(a7) = [ao(x) u(x)Y— [ai{x) u{x)]

cp(«)(a7) = [ao{x) u(x)Y"-^^— [ai(x) u(x)Y''-^^-^. . .

+ (i)(«-i)[a„,(^)i.(^)] + (-i)- f aM)u{l)d\

(1) V. Volterra, Atti Torino (Notes III et IV).

O Sur l'équation de Volterra [Journal de Mathématiques ^ 1908).

— \ ai(x) u{x)Y''-^^ -h . . .^ (— \y'[aa{x) u(x)].

On a réduit ainsi l'équation intégrale à une équation différentielle linéaire d'ordre n, qui a pour adjointe l'équation

(,5) o^n-^^^(x) = aoix)i^^'^^-^ ai(.r)p^«-i^-f-. . .-I- a„,(^)p'-h an{x)i>.

Réciproquement soit u (x) une solution de l'équation (i4') qui satisfait à l'origine [x = o) aux relations

o'(o) = ao(o)u(o),

(^" (o) = ao{o) u' (o) -\- \ a^io) ~ ai(o)] u{o), ('6) / ,

(p(«^(o) = ao(o) w(«-»^(o) H- [(/i — r)ao(o)— «i (o) ] w('^-2)(o) -+-.. . 4-[«[,"->^(o)-f-<-2)(o)-i-...-i-«„,(o)]^^(o),

que l'on obtient en faisant dans les équations (i4) ^ = 0. Alors par n intégrations successives, on peut remonter à l'équation intégrale (i) et la fonction w (:r) représente bien une solution de (i). Sia^ (o) =K (o, o)=z^o le système linéaire (16) nous donne donc d'une manière unique les valeurs de la solution et de ses (« — i) dérivées à l'origine

et dans ce cas l'équation (1) admet une seule solution régulière à l'origine. Ce résultat ressort immédiatement de ceux que nous avons déjà établis dans le paragraphe précédent.

Mais nous sommes en état de traiter le cas où K(o,o) = ao(o) = o. Supposons que le degré minimum des termes en x, ç qui composent K.{x,ç) soit n: alors, d'après (i3), on voit que a,, (;), a, (^), ..., rt„,(Ç) doivent s'annuler à l'origine au moins d'ordres /i, n — I, ..., I respectivement, soit qu'on peut écrire

où a„, . . . , a„ ne s'annulent pas simultanément.

Si l'on introduit lacondition essentielle oL^y^o^ le système (16)

nous donne

cp'(o) = cp"(o) =. . .= ^("^(o) = o;

ainsi pour que la solution soit finie à l'origine il faut que

c^{x) = x'^-^^ Oi{x).

Ensuite, puisque toute solution de l'équation différentielle (i4') régulière à l'origine est solution de l'équation intégrale et vice versa^ il s'agit d'étudier l'équation (i40 4*^^ peut s'écrire sous la forme

('^) ' ^ tl, = u^'^^ix) -^ p,{x) u'^'^-^^x) +. . .-^ pn{x) a{x),

où, d'après (17), les coefficients/?/ (r) sont des fonctions uniformes dans une certaine région du plan à contour simple et ont un pôle à l'origine. On voit facilement que l'équation (18) ainsi que son adjointe ( 1 5) sont des équations différentielles du type deFuchs pour V origine ('), avec deuxième membre. Or une équation du type de Fuchs

, , f\(x) , ,, f'>{ X) , . fn(^)

où les fi {00) sont holomorphes dans le domaine de Torigine, a pour équation fondamentale déterminante relative au point singulier ^ = o

-hp<p — i)...(p — /n-2)/i(o)-h...-hp/„-i(o)+/„(o) = o.

Donc l'équation déterminante de l'équation (i5) s'écrira

p(p— i)...(p — /i4-i)ao-4- p(p — i). . . (p — n + 2)ai+...4-a„= o.

Parla substitution 0= — /• — i , on a l'équation déterminante de l'adjointe (18 )

(19) (/•4-i)(/'-T-2)...(r-4-/i)xj — (r-i-i)...(/'4-/i — I)al^-..,^-( — i)«a;i = 0.

Supposons que les racines /*), /^i ••-, ''n soient différentes entre elles et leurs différences ne soient pas des nombres entiers. Alors l'équation (18), supposée sans second membre, admet les intégrales

M, = a:''i6i(a7), ..., Un ^^ X''n^fi{^)i

(^) Pour la théorie de celte équation, voir E. Picard, Analyse, t. III, Chap. XI.

les fonctions ^/(^) étant holomorphes dans un domaine de l'origine et différentes de zéro en ce point. Son intégrale générale est

Donc la solution générale de l'équation (i8) [ou bien de (i4')] avec deuxième membre s'écrit

(20) u{x) — Gia^^i ^i{x) -+-. . .-+- C,iX''rt^,^(x) -\- ^(x),

en désignant par à [x) une intégrale particulière.

Or, pour voir si la solution esijînie à i' origine^ il faut examiner le signe de la partie réelle des racines /'<, . . . , r,i de l'équation déterminante (19). Une solution particulière 'h (x) de l'équation (18) est donnée, en appliquant la méthode de la variation des constantes, par la formule

(21) xr.^,{x)j^ ^^,,-:,

où Q< (x), . . ., 0^,1 (x) sont des fonctions régulières à V origine. Il existe une seule solution finie à V origine si V on doit prendre

Cl = G2 = G3 = . . . = G^ = o ;

cela exige que toutes les racines r^, . .. , /•„ de l équation déterminante aient leurs parties réelles négati^^es : dans cette hypothèse la solution particulière [q.\) seia l'unique solution finie à V origine. Nous avons ainsi établi le théorème pour le cas particulier envisagé. Mais pour l'énoncer sous la forme donnée par M. Volterra, remplaçons /• par — /• dans l'équation (19), on obtiendra

(19') (,.i)(,.2). ..(/'— /i)ao+(/- — i)...(r— «-hi)a, H-. ..

Ecrivons le nojau sous la forme

K(a7, \) = Aoa7"4- Aia7"-i^ -4-. . .-H A„ia"^«-»4- A,,^".

On peut déterminer les a^ en fonction des A/ en posant q =: x dans

l'équation (i3) et dans ses n premières dérivées :

«0 = A/i -+- A,t i 4-. . . -i- Ao, (— i)ai= A,j i-i-2A„.2-i-.. .-+- /lAo,

Substituant dans l'équation (19'), ordonnant par rapport aux A/ et divisant par

on trouve enfin l'équation

Ao Al A/i

dont les racines doivent avoir leurs parties réelles positi-ves, puisque nous avons changé dans (19) /' en — r.

Passons au cas général où le noyau est de la forme

ce développement étant convergent pour

et soit ?i le degré minimum des termes en ^, ç; alors on peut écrire

OÙ l'on a représenté par H(j:'', Ç^) l'ensemble des termes d'un degré supérieur à n en x^ Ç.

Dans ces hypothèses, dérivons (/z+i) fois l'équation (i), par rapport à x^ en posant

on trouve l'équalion

(•12) D[u{x)] = [ao(.r) u(x)Y"^

— [ai(a?)w(:r)];«-i>4-...+ (— i)«a,,(r)a(ir)

qu'on peut résoudre par des approximations successives, cherchant une solution de la forme

(a) u(x) = Mo -H (wi — Mo) H- (u-i — Ml) -4-

En première approximation, négligeant le terme intégral, on a une équation différentielle linéaire d'ordre n et du lype de Fuchs :

(23) D[uo{x)] = [a,(x) Uo(x)Y"^ — [ai{x) uo(x)Y'^-^^ -h . . .

-+- (— i)"[a„(57) Mo(^)] = 9(''+i)(ir)

et nous venons de voir que, si l'équation algébrique (19'^) correspondante a toutes ses racines à parties réelles positives, l'équation (28) a une seule solution finie à l'origine de la forme

(24) Uo(x) = x''^ ^i (x) I

■' Qi(;r)c5(«+i'(a7) dx

où ^t (x), . .., '1,2 {x) ; Q, (x), , Q// (x) sont des fonctions régulières à l'origine dépendant de l'équation î)[uq (x)^ = o. Les autres approximations donnent des équations différentielles

linéaires analogues

f K„(^,^)Mo(0^;,

En remplaçant dans l'équation (24) et dans les formules analogues qu'on trouverait en résolvant les équations (28') les quantités qui sont écrites dans le deuxième membre par leurs modules

maxima, on démontre aisément, par la méthode des fonctions majorantes^ la convergence absolue et uniforme de la série (a) dans un certain cercle.

Enfin, par [n-\- \) intégrations successives, on peut remonter à V équation intégrale (i) et il ne faut pas introduire de constantes arl)itraires puisque

Nous sommes donc en état d'énoncer le théorème suivant : Si, dans l'équation intégrale (i), on a

o{x) =z x'^-^'^ Oi{x),

K(^, \) =^ kiX^^-i\i^ H (iP'', \^) (r -f- 5 > n),

cp, et H étant finies et continues ainsi que leurs dérivées pour

o>\'>x^h^ et

Ao 4- Al H- . . . -f- A,i = ao 7^ o ;

sien outre K(^, :r) ne s'annule que pour c^: = o, il existe une seule solution finie à t origine^ lorsque toutes les racines de V équation algébrique (19') étant différentes entre elles et n ayant pas leurs différences entières (*) ont leurs parties réelles positives.

Si la condition

Ao -^ A 1 + . . . H- A,i = ao ^ o

n'est pas remplie, il faut traiter à part chaque cas. Ainsi M. E. Holmgren (-) a étudié le cas où /i = 1 .

Enfin remarquons que, si quelques racines de l'équation algébrique (19) ont leurs parties réelles négatives^ le problème est indéterminé. Pour établir ce point et pour la discussion de la condition a,» = o, nous renverrons, ainsi qu'aux travaux de M. Vollerra et de M. Holmgren déjà cités, au Mémoire de M. T. Lalesco (Partie J, n°^ 7-8) qui a retrouvé et complété d'une façon directe ces résultats.

(^) On peut voir que cette condition n'est pas nécessaire (Lalesco, toc. cit. p. 142).

(-) E. Holmgren^ Sur un théorème de M. Vollerra, etc. {Atti Torino, t. XXXV, 1900).

EQUATIONS INTEGRALES DE VOLTERRA. 71