IV. — Systèmes d'équations intégrales (i
Envisageons le système de n équations intégrales que nous appellerons système de deuxième espèce :
(i) o,,{x) = un(x)-{-j 2 \^hff{oc, 'k)ug{\)d^ {h = 1,2, 3, ..., /i
Soient «,, «2> "1 i^uy les fonctions inconnues. Nous supposerons que les noyaux K^^ sont finis et intégrables pour
qu'ils satisfont à la condition
|K/,^I<M et qu'on peut toujours invertir Tordre des intégrations.
La résolution s'obtient grâce à tî^ois principes fondamentaux analogues à ceux que nous avons déjà développés.
Construisons par quadratures les fonctions
/ Kiy = -K/,^.(^, 0 {h, g =1,2, ...,/i),
^""^ \^'& = f ^^ÏU^,^)Kl-J'{^.'Odz (y = i,2,...,.-i);
alors
et les séries
sont uniformément convergentes dans le champ envisagé et représentent n- fonctions S/ig finies et continues (principe de convergence). En étudiant la forme des restes des séries (3) on constate^ tout à fait comme dans le cas d'une seule équation, que
Sa^(^, 0 + K/,^„(a7, 0=— / 51 Snr(x,z)Krg(z,^)dz
(^) VoLTERRA, Rend. Lincei, i5 mars iHgO, p. i83.
et
/ = 1 où
S//i(^, 0=— Sa^Co^, 0,
{principe de réciprocité).
C'est pourquoi, en prenant arbitrairement un des deux groupes de fonctions K^»., S^^o^, on peut calculer l'autre par de simples quadratures.
Enfin, en appliquant au système (i) les opérations analogues à celles que nous avons faites précédemment (§2, III), on a
donc
/ >]S/,„.(2, a7)cp^(;r)<r/jp=— / ^Knr{z,^)Uri'^)dl = Uh{z)— Oh{z), c'est-à-dire que Z'i/iper^fo/i du système d'équations intégrales (i)
est donnée par le système
(B) un{x) = on{x)^ f V S/,^(:r, 0 ?^(0 ^^
et réciproquement (principe d^ inversion).
Nous appellerons système de première espèce le suivant :
(7) on(x)=: f yKn.(x,^)Uga)di,
et nous supposerons que les fonctions cp^^ et K^^ soient finies, continues et dérivables dans l'intervalle donné. Dérivons alors une fois par rapport à x. Nous obtiendrons
Envisageons le déterminant
si D(^,5;)7^o, en désignant par ^^.hg{x^x^ les éléments réciproques à^s K>io.(^, ^2?) divisés parD(^,^), on trouve, par la résolution d'équations algébriques ordinaires,
d'où, en posant
on tire
Donc le système (7) est, si D(^,:r)^o, réduit à un système de deuxième espèce (9) et la résolution du système transformé (9) est donné par la méthode que nous venons d'exposer.
Le cas où D(x,^) s'annule a été étudié par M. T. Lalesco (') par un procédé analogue à celui qu'on emploie pour l'équation de première espèce; il faut dériver le système (7) jusqu'à ce qu'on
(') T. Lalesco, Sur Véquation de Volterra (Journ. de Mathém., t. I, 1908, p. 171).
obtienne, en négligeant l'intégrale, un système cV équations différentielles fuchsiennes. On peut supposer, pour fixer les idées, que le système ('j) soit formé par deux équations; alors, en désignant par n Tordre du zéro de D(o,o), si n est impair (/î = 2A + i ), il faut dériver k fois l'une des deux équations du système (7) et k -\- \ fois l'autre; si n est pair (^n =^ 2 k) il faut dériver k fois les deux équations.
Ainsi, l'on trouve un système de deux équations fuchsiennes d'ordre ai à une seule inconnue, auxquelles il faut adjoindre deux équations algébriques déterminantes pour discuter le problème. La discussion dépend, comme dans le cas de l'équation de première espèce, du signe de la partie réelle de leurs racines^ et de deux conditions analogues à celle du n° 3 : AqH- Ai -h A2+...H- A,^^ o.
