V. — Inversion des intégrales multiples (i

I. Equations de deuxième espèce. — Soit l'équation de deuxième espèce de Volterra à n variables indépendantes

(1) Cp(^i,...,a7„) = U{X^, ..., Xn)

et supposons que dans le domaine

^^h^Xi-^h {i = \,'î, ..., n),

le noyau K soit une fonction finie et intégrable des in variables A',, . . .^ Xn'i it, . • ., in. En outre, soit | K | <]M et supposons qu'on peut toujours invertir l'ordre des intégrations.

La méthode de résolution est l'extension du procédé employé dans le cas d'une seule variable (§2). Il est inutile de développer les calculs : nous nous bornerons à énoncer le résultat :

La solution de l'équation (i) est donnée par

(2) u{Xx,...,Xn) = ^{Xw-,Xa)

+ / d^x... S(.r,,...,a7„|^,,. .,^„)cp(^,,-.-,^«)^^«r

(^) V. Volterra, Lincei, 1896 (Note II).

EQUATIONS INTEGRALES DE VOLTERRA. 73

OÙ

Pour démontrer cette proposition (^principe cV inversion)^ on démontre d'abord que la série (3) est convergente [principe de convergence) et qu'on a les relations

dZi... S{Xi,...,Xn\^u...,Z„)K(Zi,...,Zn\^^l,...,^n)dZn,

et aussi

(3') K{xu ...,Xn\ir,...Au)=^S"H^u ...,^«Ui, •..,^^)

avec

I S^''(a7,,...,a7;,|^,,...,^„)= / dzi... S'y (j^,,...,a'„|^,,.'..,s,i)

Elles constituent \e principe de réciprocité.

II. Equations de première espèce. — Pour simplifier les calculs supposons qu'il n'y ait que deux variables, le raisonnement s'étendant à un nombre quelconque de variables. Soit donc l'équation

(6) (f{xi,Xi)= d^i I K(xi,X2\^i,^%) uCzi,U)d^2. . .

L'idée la plus naturelle pour résoudre cette équation est de la réduire à une équation de deuxième espèce en suivant la même

marche que dans le cas où la fonction inconnue ne dépend que d'une seule variable (§ III). Mais cette opération est dans ce cas plus compliquée. En effet dérivons l'équation (6) par rapport à ^, et à ^^2 5 nous obtiendrons

r''^ à\^{xx,X2\xu \i) , V s ,^

àxx dx^

u{X\, \ï)d\x dli.

En supposant K (^i, ^o | ^m ^2) 7^ o i^ relation précédente, divisée par K {x^ , :r2 1 ^i , ^2)7 prend la forme

f ¥{x^,X2\\x)u{c,uX^)d^x

+ / ^{Xx, a-2 I ^2) «(^1, ^2) û?^2

-+- / / H(a7,,a72Ui, ^2) w(;i, b)^;i «?;2,

équation dont le premier membre est connu, et le deuxième membre contient la fonction inconnue et des intégrales simples et doubles de la fonction inconnue.

Gela posé, conservons dans le second membre les deux premiers termes et transportons les autres dans le premier membre. En appelant le premier membre T(^i, .To), on aura

Envisageons dans cette équation x^ comme un paramètre constant et T [xxi x^) comme une fonction connue. On pourra la résoudre par rapport à u (^j, Xo) et l'on trouvera

f ^^{xuX^Wx)^ {\\,oi:i)d\x-

Remplaçons T (Xi, X2) par sa valeur, c'est-à-dire par

Il viendra

W(^l, ^2) = ^(^1, ^1)— / *(^l, ^2 I b)M(:ri, ^2)û?^2

f / G(:ri, a^aUi, b) w(^i, ^2)<^^iO?^2,

011 G(^,, ^2|?n ^2) est une fonction connue. Cette équation pourra s'écrire

= .l;(a7i, 372)-+- / / G(a7i,a"2|^i, ^2) w(^i, ^2)^^l<^b = V(ari,ir2).

Regardons dans cette équation x^ comme un paramètre constant et V(.r,, X2) comme une fonction connue. En résolvant cette équation intégrale par rapport à u{x^^ x^)-, on trouve

/ -C(^n ^2^1, ^2)m(^1, $2)<a?^lû?Ç2,

où 4^(^i, ^2|iM?2) est une fonction connue. Cette dernière équation a la forme (i); en appliquant l'analyse précédente, on pourra donc en tirer u(Xi^ X2) et Ton aura, par suite, résolu l'équation de première espèce (6).

Dans le cas où il y a non plus deux, mais n variables, il faudra dériver l'équation intégrale n fois par rapport aux n variables. On trouvera ainsi une relation où l'ordre des intégrales va de i jusqu'à n. Pour réduire la relation obtenue à une équation de deuxième espèce de la forme (i), il faudra éliminer les différentes intégrales par des résolutions successives d'équations intégrales tout à fait analogues à celles qui se présentent dans le cas n = 2, On arrive ainsi à la résolution de l'équation de première espèce. V. 5*

VI. — Systèmes d'équations intégrales a plusieurs variables. Soit le système de première espèce

OÙ z//(;i, ?>7 ••••) Ç/0 sont les fonctions inconnues, A = i, 2, ...,v. Dérivons par rapport à ;r,, ..., .r„. Si le déterminant

Kji, K12, ... Kiv

Kv,, K,o, ... Kvv

où l'on a fait H, =.a;,, Ho = ^2, ..., S,^ = .r^^ n'est pas nul, il en résulte

OÙ Fç représente une somme d'intégrales simples, doubles, ..., /i-uples, qui contient linéairement les inconnues, et ^/i est connue. En supposant connues Wo^ •••? ^'v on lire ll^ de la première équation du système (2) par le procédé que nous venons de donner dans le paragraphe précédent. En substituant la valeur de w, dans les autres équations on aura, entre les inconnues U2, . . ., ii^, un système de (v — i) équations qui conservent la forme (2). En continuant ainsi on parvient enfin à une seule équation avec une seule inconnue.

Ce procédé montre aussi la voie qu'il faut suivre si le système donné est de seconde espèce.