Si l'on a l'équation

(3) ^{x) = u{x) + \ f K{x,^)uC:,)d\,

OÙ l'on a introduit un paramètre \ que l'on regarde comme une variable complexe^ on peut employer la méthode de développement en série des puissances de \ pour calculer u (x). En effet écrivons

(4) uCk, X) = U{0,X) -h'kll'{0,x) -i j- m" (O, a?) -+-... H j- W^"^(0, a?) -4-...

8o CHAPITRE II.

en posant

U^riUl X)= V— '

^ ' ^ dX"-

Il est facile de déterminer les u^"^{o, x).

On a d'abord

En dérivant l'équation (3) par rapport à X et en y faisant ensuite \ = o, on obtient

u'{o,x)=-f Kix,^)uio,^)d'ç= f K(i)(^,0?(0^^

En dérivant deux fois l'équation (3) par rapport à X et y posant A = o, on trouve

= if M^,i)d^ f\a,z)o(z)dz

et l'on calcule d'une manière analogue ?/"^(o, x), etc. En substituant ces valeurs dans (4) on a enfin

(5) u(X,x)^o{x)-^-K f K(iK.^^,0?(0^^ + X2 r K(2)(^, ^)cp(0^f-4-...

et comme la série ^K^'O.' est uniformément convergente quel que

soit le module de X, la solution (5) de l'équation (3) est une fonction holomorphe de A dans tout le plan.

Il est évident que si Ton fait dans la formule précédente X = i, on trouve la solution de l'équation (i).