Une méthode pour résoudre l'équation de première espèce

(G) <,{x)^ f K(x,^)ua)d^,

directement par approximations successives eslduekM. Picard (*). ( ' ) E. Picard, Su/- une équation fonctionnelle {Comptes rendus, 2" sein. 1904).

ÉQUATIONS INTÉGRALES DE VOLTERRA. 8l

Il envisage l'équation

qui pour ). = i se réduit à l'équation (6). On admet la condition K(^, ;) ^ o : il s'agit de trouver une solution de la forme

(8) m(^) = lfo{x) -i-X Ux{x) -^\- U2{x) -h. . .-i-'k"' llfii^) -^' ' "

11 suffit de poser pour cela

o'(x) ,,, ,, dK(x,0

et SI

I ao(-^) |< N, i H(;r, 0 l< M, | K(;r, x) | > L,

où M, N, L sont des quantités finies, on a

/ \\\ n ytl

\Ur,{x)\<^[J^J ^,

c'est-à-dire que la formule (8) donne une et une seule solution fonction holomorphe de A pour

En faisant À = i , on retrouve la solution de M. Volterra. Etudions maintenant le cas où le noyau devient infini pour ^ = ç. Soit

en supposant G(^, ç) continue dans l'intervalle donné, G(^,:r) ^ o et 'f (o) = o. Considérons donc, au lieu de l'équation (7),

Posons

M(a;) = ^0(37) -f- X U\{X) -\- X- Ui{x) -4-. . .,

82 CIIAPITIUÎ II.

Uo [x) est déterminée par \di formule d'Abel

(l l) Uq{x) =

sinar: /'

et si P(i, ^) désii^ne une fonction que l'on construitaisément d'après la forme même de l'équation ( lo), on a

, , , ^ sinaî: f'' dl f^ PC?, z) ^ , ,

(12) UfJx)= 7^— / ; jr-, / r= '■ lln-i(z)dz,

^G{x,x)J^ (a7^)i-aj^ C^-z)^ " '' ^ '

il est facile enfin de s'assurer de la convergence de la série précédente.

Il est intéressant d'étudier (*) l'équation (6) dans le cas où K(.2^, H) et '^{x) sont deux fonctions analytiques (régulières) de leurs arguments dans le domaine du pointa' = ^ = o : la solution est régulière en jr = o si l'on a de plus '-d (o) ^= o. Le noyau ayant la forme

en dérivant l'équation (6) sous ces hypothèses, on a

En introduisant un paramètre ). qui multiplie le noyau K, on a la solution sous la forme

U[X) = Ui)(x) H- X Ui{x) -t- X2 U.2(x) -h. . . ,

avec (i3) { a,{x)

en supposant <7o(o)^o. La solution donnée par la série est une fonction entière en À pour tout point x intérieur au cercle G', ayant pour centre x = o et pour rayon la plus petite des distances

(') Th. Lalksco, Journal de Mathém., 1908.

du point ^=r o aux zéro de ao(^) et aux points singuliers de '^' {x)

et ; l^a démonstration se tait au moven de la méthode des

Ox ->

fonctions majorantes. On peut retrouver la formule même donnée par M. Volterra(§ III), en posant

ao{x) ox

on a alors c'est-à-dire

Un{x)= f \\„{x,\)u,C^)dl

ao{x)

^'^'^'-fW'''^'^''-]-

4. La méthode des approximations successives s'applique avec succès (') à une équation de deuxième espèce dont le noyau

ï^(^-^)=(^ïnZ^ (o<a<i)

devient infini d'ordre moindre que i pour x ■=\. Prenons l'équation

(.4) u{x) = '.{x)-^\J'' ^f 2^^^^dl

Si l'on pose

Uq{x)'=^o{x),

on a

(') R- d'Adhémar, Sur les équations intégrales de Volterra {Atti del Congresso internaz. di Matem., t. II, 1908).

en posant

^ dt

et en désignant par m la limite supérieure de l 'f (^) |, on trouve

L'équation (i4) a donc une solution (unique) si |X|B^'~°'<C i.

o. La même méthode s'applique aussi à l'équation de deuxième espèce plus générale

Supposons

|K(a7, 01<M, |cp(^)l<m;

alors