AI
I uAx) — Mo(^)|< — ^^ mxP.
\Un{x)—Un-x{x)\<- -—-mxP\
(yO -h I/*
donc les approximations convergent si
|X|M<jo + i.
Pour que la solution finie soit unique^ il faut introduire une autre condition : en efiel, soit a^^\x) =^ u^'\x') — m^'^(^), u'^^^x) et u^^^ [x) étant deux solutions finies. On aura
d'où, comme
on tirera
quelque grand que soit n : donc il y a unicité de la solution sf
VIII. — Équations de Volterra de type généralise. 1. Considérons l'équation intégrale (')
(l) ^(x)=::u{x) — P{X)ll{OLX)-hlf K ( J7, ^ «^( ? ) ^; (o<a<l),
où les fonctions connues sont P, R, o.
Supppsons que dans l'inlervalle o^x'^h ces fonctions soient continues et finies et que l'on ait
o<P(x)<e^'\ P(o) = i, \^(x)\<:Bx,
où A et B sont des constantes positives. Supposons enfin que la valeur u(o) soit donnée. Alors le produit infini
TTp(a'^)= U(x)
sera convergent et dans l'intervalle donné l'on aura, H étant une constante finie et positive,
Employons la méthode des approximations successives (§VII) en cherchant une solution de la forme
{2) lt(x) = Ui)(x) -i-X Ui{x) -\-. , .-^ 1'^ Un{^) ~^- • ' '
On aura les équations
Uo{x) — P(^) Uo{oi.x) = <i{x),
ui{x)— P(x) Ui{o(.x) — — I K(x, ^) Wo(0^^»
Un{x) — F{x)Un(^x) =— j K (^, ^) W„i (^ <^^
Tout revient à résoudre une équation de la forme
<4) u{x) — P{x) u{'xx)= ^{x),
( ^ ) E. Picard, Sur une équation fonctionnelle {Comptes rendus, i" sem. 1907 ).
OÙ l'on suppose | <ï>(^)| -< Cjp, C élant une conslanle positive. La solution est donnée par une formule du calcul aux différences finies que nous allons établir : remplaçons dans l'équation (4) X par a.r, a-^, ..., a"^, il vient
U{X) —V{X) il{0LX) =^{x),
u{oLx) —Y*{ax) u{i^x) =*(aiP),
M(a"^)— P(a"iP) u{7.'^-^^x) = 'P(a''x).
En multipliant respectivement ces équations par
I, P(x), P(x)P(oLx), F{x)P(aix)P('x'^x),
et en ajoutant, on a la relation
ri
a(x) — P(x) P(ocx) . . . P(a«;r) u(y.'i-^'^x) = V *(a/ic)rT P(a'>);
en passant à la limite pour /? = oo on a (puisque a -< i)
lim ii(oL'^-^^x) = u{o),
donc
-h P(x) P(oix) . . . P(a''-'^x)4>(oL'-'x) -+-...,
on voit facilement que cette série est convergente.
Cette formule résout l'équation (4) et, par conséquent, toutes les équations d'approximations (3); on a
' u/i(x) = l](x) u/i(o) -{- 'P/iix) -\- P(x)^/i(ax) -^. . . -+- Pix) . . . P(a"-ia") */,(a«57) 4- . . . (5') i (l^ = o, ', '-i, 3, •• 0^
ou
Or, en prenant pour Uo(o) la valeur donnée, on voit aisément que dans l'intervalle envisagé
1 Uo{^) I < l^,
k étant une constante positive.
Dans ces conditions il est très facile de démontrer la convergence uniforme de la série (2) pour toute valeur de ).. En elTet, soit I K(^, ^)| < M; alors
en prenant ««(o) = 0 {n^ 1) on déduit de (5) que
I Mi(a:-) I < X-MHa;(i + a4-a2 + .. .)< -,
et enfin que
On peut démontrer, à l'aide de la même méthode majorante,, que la solution est unique; en effet, la différence u^'^'^ {x) de deux solutions finies u^-'' x et u^^^ x vérifie l'équation sans second membre
OÙ
cette équation n'est satisfaite que par «^^^(ic) = o, puisque u^^^ étant finie, on a
d'où, en tenant compte de (4'),
LMUx
At 1 ( I — a ) ( I — a^' j . . . ( 1 — a'* )
2. Cette méthode s'étend (') à l'équation intégrale plus générale
(6) o(x)=ii{x)-^P{x)u[f(x)]- f K(x,'r)ua)dl ■
(' ) A. Myller, Bandwertaufgaben bel liypevbolischea Differentialgleichiuig {Mathem. Annalen, Bel. LXVIII).
88 CHAlPITRE II.
OÙ la fonction y(^) est finie, continue et uniforme, telle que
Pour calculer les approximations successives, il f^ut résoudre chaque fois une équation fonctionnelle de tjpe analogue à l'équation (4)- M. Picone ( ' ) a résolu récemment les équations ( i ) et (6) en procédant directement par approximations successives.
