L'équation

/■^ r du d"^ IL 1

a été étudiée d'abord par M. Burgatti (-) et ensuite, d'une manière complète, par M. Lalesco (^). Remarquons que, dans le cas où m = 0, c'est une équation ordinaire de première espèce; dans le cas où /?2 = I et/,(^, Ç) = i, elle se ramène facilement à une équation de seconde espèce, parce qu'elle s'écrit alors

équation ayant une solution déterminée lorsqu'on donne à l'origine la valeur ?/(o).

En général nous allons voir, par une nouvelle méthode, que si frui^i x) ^ o Ql ^(o) = o, il existe^ sous certaines conditions de dérivabilité des fonctions données^ une et une seule solution de V équation (7), prenant à Vorigine^ ainsi que ses m — i premières dérivées, des valeurs données.

Pour simplifier, traitons le cas de m^= 1.

(7') ?(^; = f' [/o(-^. 0 "(0 +/i(^, 0 "'(0 +/2(^, ^) ""(;)] dl

(*) M. PicoxE, Circolo Mat. di Palernio, 2« sem. 1910; Rendic. Lincei, 2* sem. 1910.

(^) BuRGATTi, Rendic. Lincei, i" sem. igoS (deux Notes). (3) T. Lalesco, loc. cit.., p. 160.

On a

C'est pourquoi en posant

^ 0 Téquation (j) pourra s'écrire

(7") ^V{X)= f [^x{x,i)u'a)+Mx,^)u\^)]dl

De même, en posant

l'équation (y'') deviendra

Cette équation est une équation de première espèce, et puisque

Y^{X,x)—fï{x,x), «ï>2(0) = <p(o),

on pourra la résoudre (§ III) en la réduisant, soit à l'équation de seconde espèce

(9) n (^) =/2(^, X) u"{x) ^J"' ^-^^ W'Cc) d\, soit à l'équation

(10) cï>,(^)=/,(:r,a')[w'(:r)-w'(o)]- r"^-î^4r^C"'(^)-"'(^)]<^-