Equations de Volterra non linéaires. — L'étude de ces
équations est dû à M. Lalesco, nous suivrons son analyse. Envisageons le type plus général d'équation de deuxième espèce
(il) u(x)=c^(x)-+- 1 K[^, ^; t<(0]«?^
OÙ K[^, ç, w] est une fonction des trois variables réelles x, ç, u
telle que
1K(^, ^: Uo^) — K(x,^', u^)\<^\ua—ii^\, pour
M, N, <:/, b étant des constantes positives.
On peut employer pour Ja résoudre une méthode analogue à celle suivie par M. Picard pour démontrer le théorème d'existence de Téquation différentielle (')
qui s'écrit aussi sous la forme intégrale
C étant une constante, et qui est un cas particulier de l'équation (i i).
Soit
lorsque x varie dans l'intervalle o, A, étant
Ecrivons les équations aux approximations successives relatives à l'équation (i i) de la manière suivante :
My(.r) = 9(07),
Uy{x) = o{x)^ f K[^J;cp(^)]«r^,
i„{x) = ^{x)-i- I K[x,^;un-i{^)]d^^,
(') E. Picard, Analyse^ t. II, p. 34o.
Comme pour réquation (12), la solution cherchée de (11) est donnée par lini u,i (x) et elle sera valable dans le plus petit des
deux intervalles (o, a), (o, h), étant
En effet
I wj — Mo I < Ma;
et puisque en général
on aura
^2 1^2 — wi I < MN — , 1.2
ni
On voit donc que la série
Mo H- ( Wi — Mo ) -+- • . . -^ ( Un — Un-\ ) + • . .
est absolument et uniformément convergente et qu^elle représente la solution unique de V équation (i i). Pour l'équation (12) on a
çp(^) = cp(o) = G,
et l'on retrouve le résultat de M. Picard pour l'équation dififérentielle correspondante.
Le problème est beaucoup plus compliqué lorsqu'on envisage les équations de première espèce; prenons, par exemple, l'équation
(.3) cp(x)= f {M^AX^)-^M^A)uH\)-^-+fm{o^A)u"'{'k)\dx, dérivons par rapport 'à x. On aura
(.4) ^\oo)=^Mx,x)ui{x)-^J^^^-£uia)dl
Les équations aux approximations sont
(iDj
in jn
^fi{x,x)uUor) = o\T)-j'^^-àu\,,{\)dl
et l'on voit aisément que toute approximation est une fonction niuliiforme de x. Les ramifications ne sont pas les mêmes pour toutes les approximations, parce que le deuxième membre varie pour chaque équation : donc en général il n'est pas possible de trouver une surface de Riemann qui corresponde à toutes les approximations.
