IX. — Équations intégrales de Volterra avec les deux limites

DE l'intégrale variables.

a. Equations de deuxième espèce. — Prenons l'équation linéaire de deuxième espèce à deux limites variables (')

où 'f (^) est définie dans l'intervalle ( — ^,^) et la fonction K(^, ^) est finie et intégrable pour

L'équation (i) s'écrit aussi

(') V. Volterra, Annati di Matematica, art. IL

ÉQUATIONS INTÉGRALES DE VOLTERRA. gS

OU bien

^{a:) = u{x)-^ f Kix,-'^)u(-\)d^-^- f \i{x,\) uC^) d^ {'i) ( et en échangeant a; en — x^ en même temps ^ en — ^,

Posons

u{x) =^ Ui{x)^ u{ — x) = Ui{x),

o{x) = o^{x), ^{— x) = 'fi{x),

K{x, 0 - KW(^, 0, K(ar, - a) = K'AH^r, 0,

on est ramené au système de deuxième espèce

d'où Ton peut tirer, en appliquant le procédé donné (§ IV), les inconnues u^{x) et U2{x) définies dans l'intervalle (o<^^<!^). Le système résolvant s'écrit sous la forme

et en posant

SW(^, 0 = - s(- ^, ^\ sv^'C^, 0 = - s(-^, - 0,

où la fonction S est définie pour

on peut remplacer le système précédent par la seule équation

qui donne V inversion de V équation (r).

Supposons ensuite que l'équation à résoudre soit de la forme