CI.X
OU
Ia|<i.
Si a est positif et o <C x <i b, l'équation se ramène à l'équation ordinaire
11 suffit pour cela de supposer Iv(^, ^) =i: o pour ^ <; olx. Si a est négatif et y.b <C. x <^b on peut la réduire à la forme (i) que nous venons d'étudier. 11 suffit de supposer R (x, H) = o pour
— X <i ^ <C. OCX ) ( — b <i X <C oib,
et pour a.b <ix <.b ) { — X <i\ <.x,
et de prolonger arbitrairement la fonction o[x) pour x compris entre
en la conservant intégrable et finie. Alors
KV2(^-J) = o pour
( — oib <C X <i 0, our <^
KW(^, 0 = o
pour
"JLX <. \ < ^,
— ab <C ^ <i b, et pour {
En construisant par quadratures les fonctions itérées K^/.j, Kij'âj
EQUATIONS INTEGRALES DE VOLTERRA. ()5
K!/p on voit aisément, comme le montre une simple représentation géométrique, que ces fonctions s'annulent respectivement pour les mêmes valeurs pour lesquelles s'annulent les fonctions iv^/.,', R!,V, K.[!^. De même pour les fonctions S/j, Si,^', S!,','. Donc V inversion de V équation (()) est donnée par l'équation
puisque S (x.^) = o pour les mêmes valeurs considérées précédemment des variables jr, ç qui annulent la fonction K(^, ^). La résolution de l'équation de deuxième espèce plus générale
se ramène à la solution précédente. En effet, soit q^p-, alors on peut écrire l'équation (8) sous la forme
en supposant
pour \ compris entre qx et x, et l'on revient ainsi à l'équation (6).
[îi. Equations de première espèce. — Lue équation fonctionnelle très intéressante au point de vue de la théorie des équations aux dérivées paitielles (*) est la suivante :
— <" I . Le cas ou — ^1 \q
Supposons d'abord
>> 1 se réduit immé-
diatement au précédent. Par la transformation qx=^y, on ramène cette équation à la forme
(lo) ç(:r)= r K(r,0«(0^; ( h |< i ).
(') GouRSAT, Sur un problème relatif à la théorie des équations aux dérivées partielles du second ordre {Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 2« série, t. V et VI).
Soil a positif, posons la condition }L(xjX) ^ o. Pour qu'il existe une solution finie u{oc)^ il faut supposer c5(o) = o. Dérivons l'équation (10) et écrivons
¥l{x,x) K{x^x) Kix^x) ox
alors
F{x,^)ii(^)d^ (o<a<i).
M. Volterra a résolu directement l'équation (11) au moyen du calcul aux dijfférences finies ('), mais on peut aussi employer la méthode des approximations successives ('-). Ecrivons
' Mo(^)— P(^) Wo(aa?) =/(;r),
(l'2) {Urt{x) — V{x)Un{^x)=—\ Y{x,\)Un-'i{\)d\,
^ eux
Dans ce cas on voit que
I I P{x"x) = o, parce que
hm P(a«-ia7) = hm — — ^ — '- -^ = a<i,
et la solution des équations aux approximations est donnée par
1 Uh{x) = ^H{x)-\-V(^x)^u{%X)+,..
