I -4- P(^)P(aa7)...P(a«-i:r)*l>A(a«a
(i3) ( où
ax
On démontre par le procédé que nous avons déjà utilisé IsiConçer-
(*) V. Volterra, Annali di Mathem.^ art. II. (^) T. Lalesco, Journ. de Mathém., p. i56.
gence uniforme de la série
el r unicité de la solution (§ VIII).
On peut procéder d'une manière loul à fait analogue dans le cas où o > a >> — i .
Il faut étudier à part le cas où a= — i qui correspond à l'équation
On peut réduire celle équation au système suivanl de première espèce (comparer § I\, a) : ,
en posant
Nous avons résolu (§4) les systèmes de première espèce dans le cas où
ne s'annule pas pour j^- = o : mais ici on a D (o, o) = o, donc il faut traiter l'équation (14)7 ou bien le système correspondant (10) par une méthode analogue (§ 3 et § 4) à celle employée pour l'équalion de première espèce dans le cas où K(o, 0)=: o.
wSi dans l'équation (6), où o << a <! 1 , nous faisons x=ie^'^y i; z=: e^i, elle prend la forme
v{x,)=^{x,)-^ f ' \\{xuU)^{b)d^i
étant y= — loga, et v étant la fonction inconnue. De même l'équation de première espèce (10) par la même transformation
gS CHAPITRE II.
devient
On rencontre des équations de ce type dans la théorie des électrons (^).
Une équation particulière de première espèce à limites constantes se ramène aisément aux équations que nous venons de traiter : c'est l'équation
déjà envisagée mais non résolue par Abel. Il suffît de poser xl, =J'. Alors en posant
on a
équation du type (9).
La théorie des équations aux dérivées partielles conduit enfin à des équations de Volterra de deuxième espèce de la forme
(16) cp(^)=r K(^J)w(0^; [K(x,x)^o],
OÙ la fonction y =/*(^) est finie, continue, dans l'intervalle
est nulle à l'origine et l'on a \f[x)\<ib. Cette équation n'est qu'une généralisation d'un type que nous avons déjà étudié. En dérivant par rapport à .r et en posant
K{XjX) ôx K{x,x)
on a
(F7) ^{x) = ii(x)-Pix)u[f(x)]-i- f U(x,^)ua)dl
(^) Comparez Hertz, Die Bewegung eines Electrons, etc. {Math. Annalen, t. LXV).
On peut appliquer à cette équation l'analyse que nous avons déjà employée pour le cas que nous avons traité dans le paragraphe 8.
On peut aussi transformer l'équation (i6) en l'intégrant par parties. Posons pour cela
alors
(.9) o{x) = K(x, X) %{x) - r' ^^i^e(0 dl
et il s'agit de résoudre les deux équations (i8) et (19) : cette dernière se résout facilement par des approximations successives. Posons
nous aurons
*y fi r- \
Gela posé prenons
(20) en(a;)=f L(xJ)e„-,(Oû?^
Si
|cpi(:r)I<M, 1L(^,^)1<N,
nous aurons
e,,(:r)i<MN«
En effet |eo(j?)|<M, et si
en vertu de l'équation (20) il viendra On aura donc
e(x)=^en(^).
n=zQ
lOO CHAPITRE II.
Pour résoudre l'équation (i8), si f{x) est dérivable, on a
d'où l'on peut tirer u {x) en employant des méthodes que nous avons déjà envisagées.
M. Lalesco a aussi proposé un procédé d'itération^(' ) que nous voulons indiquer. En posant
alors
en ajoutant et passant à la limite pour /z = oo en supposant limy*;^ = o, on trouve, certaines conditions étant satisfaites,
d'où la valeur de u(x) par dérivation.
y. Equations non linéaires à plusieuj^s variables. — M. Picone a été amené, par l'étude de certaines équations aux dérivées partielles, à l'équation de Volterra non linéaire à limites variables
(21) ^{^,y) = u{x,y)-\- I d\ j K[.r, j;^^, 7); m($, 7))]rfr^
( ' ) T. Lalesco, Sur une équation du type Volterra ( Comptes rendus, \" sem. 191 1 ).
(') M. Picone, Sulle equazioni elle derivate parzialL del 2* ordine del tipo iperbolico in due variabili independenti {Bendic. Circolo Palermo, 2' sem. 1910).
EQUATIONS INTKGllALES DE VOLTERRA. fOI
dans le cas où les fonctions f^ (x) elf2{y) sont finies, continues dans l'intervalle ( — 6, b) et où l'on a
où en plus ^(x,y) est finie et continue dans le carré ayant les sommets (b, b), ( — 6, />), ( — b, — b), (6, — b) et K[x', y ;?,*/]; u] est finie et continue pour
où enfin, en désignant par u., ç deux valeurs quelconques de l'argument u (prises entre — 00 et 00), il existe une quantité finie et positive M telle que
K[a7,j;^,rj; ii] — K[x,y; ^, r, ; u\
Dans ces hypothèses on démontre aisément, en faisant usage d'un procédé qui résume les difierentes méthodes que nous avons indiquées et en particulier appliquant la méthode d'approximations successives analogue à celle employée par M. Lalesco pour l'équation [§V1I1( 5)]
qu'il existe une et une seule solution de l'équation (21) définie dans les intervalles donnés, et qu'elle est donnée par la série convergente
ii{x,y) = Uq{x , y) -\- u^{x, y) -\- u^{x, y) -\- . . . , où
Un{^,y)=^^{oc,y)-\- 1 d^ K\x,y;^,T^;Un-lCq,r,)]drl.
Nous ne développons pas les calculs qui sont semblables à d'autres que nous avons exposés précédemment.
L'ÉQUATION DE FREDHOLM.
• I. — Remarques générales.
L'idée fondamentale du passage à la limite, c'est-à-dire celle de partir d'un système d'équations linéaires algébriques pour arriver à une équation intégrale, idée que M. Volterra a introduite pour la première fois pour résoudre l'équation intégrale de son type, conduit aussi à la résolution de l'équation intégrale
Nous n'exposerons pas 'd'abord ce passage à la limite (voir le § VIII), mais nous commencerons par l'exposition de trois principes tout à fait analogues aux trois principes qui constituent l'analyse de l'équation de M. Volterra. Les principes de réciprocité et d'inversion relatifs à l'équation (i) sont identiques aux mêmes principes qui se rapportent à l'équation
(i') ti>(x) = u(x)-^'k f K(x,^)u(l)dl
Le principe de convergence est différent. Tandis que le noyau de l'équation (i') est une fonction holomorphe du paramètre A, celui relatif à l'équation (i) est une fonction méromorphe. Nous allons le voir dans les pages suivantes. Nous suivrons le plus possible l'analyse de M. Fredholm.
n. — Principe d'inversion.
Multiplions l'équation (i) du paragraphe précédent par une fonction finie et continue, mais d'ailleurs arbitraire, S(z,x) et
l'équation de fredholm. io3
intégrons entre o et i par rapport à x. On aura
Jf %{z^x^^{x) dx
= / '^{z^x)u{x')dx-^\ j dx I K{x,^)S(z^ x) u(^) d^,
c'est-à-dire, changeant .x en :; et modifiant l'ordre d'intégration, f/Ui^) \ S(x, ^) -^ l f' Ki z.l) ^(^^ ^')dz] = f's(z,y)^(y)dy.
Si nous déterminons S(x^y) de telle sorte que l'équation
(!) S(x,l)-hlf K(z,i)S(x,z)dz=—K{x,^),
c'est-à-dire
K(x,^^)-i~S{x,^J =-1 f S(x,z)K{z,^)dz,
soit satisfaite, la solution de l'équation (i) du paragraphe précédent sera donnée par
Nous sommes ainsi ramenés à résoudre l'équation (i) par rapport à la fonction S(:r,j') [noyau résnlçant).
m. — Principe de réciprocité.
Envisageons la fonction de ;, r^ et }.
(1) DK(^'ri) = Kf^Wx r K^ ' '''\dx, .
H r / / K( ^ ' ) dxi dxi
2 ! J Jo \ r^ Xx Xi /
io4 où
Ou\
K(^,rJ K(^,.rO
K(^,.rv)
Développons suivant les éléments de la première colonne le déterminant (a). Le terme général de (i) s'écrira
or \ ... OTyj
- f .,. f K(.r.,Ti)Kf '
dx^ .
..dx.
Xz .
(fXl . . . dxy,
+ / • • • / K(x.2,ri) i ^ ' "" ^^ \ dXi . .. dx^,
= -y K(^,T.) / ... / K( ^)dx,...dx,
v.f Jq J \xx ... x^j
— /•••/ K (t, 7) ) K ( ' J dx^^ . . . dxy dz
Jq Jq yT Xi ... XyJ
o^vT-ï . . . dxy dz
t . . . dx^ dz -^ .
Or, puisque
a?v/ \- Xi ...
X^J \^ Xi Xi
et ainsi de suite, on voit aisément qu'à l'exception du premier tous les termes du second membre de (2) sont égaux entre eux. Par suite le terme général de l'équation (1) est égal à
Xv r^ r^ / ^ ^2
dxi . ... dxy dzy
L EQUATION DE FREDHOLM. lo5
et ainsi, en posant
on peut écrire
(3) DK(^,ri) = K(^,V)DK-x/* K(t, r,)^ -^^——^
/' r^ ( \ ^^ • • • ^^\ " ' I Kl ' ] dxi . . . dxy d-z
= K(^,rJDR-X r K(T,r,)DK(e,')t/T.
On pourrait montrer d'une manière toute semblable, en développant le déterminant (a) suivant les éléments d'une ligne, par exemple de la première, qu'on a
(4) DK(^,Ti)=:K(^,r,)DK-X r K(?,T)DK(x,r,)«fx.
Supposons que D,^, qu'on appelle déterminant de V équation intégrale ne soit pas nul, alors en posant
les équations (3) et (4) s'écriront
K(a7,fc)-l-S(:r,0--X r S(x,z)K(z,^^)dz = -l f K{x, z)Siz, ^) dz.
Les deux équations (3) et (4) forment le principe de réciprocité^ dont nous allons tirer la solution du problème proposé.
