IV. — Principe de convergence

Mais les séries D^ etDK(5ji^) sont-elles convergentes? On peut répondre affirmativement. Envisageons la série plus gé-

Io6 CHAPITRE III.

nérale

(i) Dk(^i, ...,Uhi> .••iTQ«)

-^^W!^^ ^^j \tj1 ... r,n Xx ... x^J

F/ Çlj • • • î \ni ^\t • • • t ^n\ , i 1 J 'i • t

( ) représente le déterminant connu.

D'après le théorème de M. Hadamard sur le maximum d'un déterminant, on a

Cl •.• C n X t . . . X^j \ I

' Y]i ... r^,i Xi ... a?v

OÙ M est la limite supérieure du module de F(x,y) dans l'intervalle considéré. Il en résulte que la série (i) est uniformément convergente. En effet, considérons la série majorante

Le rapport du (/i + v+ i )'*'"'' terme au {n -\- v)'^'"® est

vH- j y/

]Vl«+v ^^ V H- j V ( /i -f- V )'^-^v

Vi'

-jfev/f- ^.i'V

Ce rapport tend vers o lorsque v croît indéfiniment, quel que soit le module de X.