VI. — GÉNÉRALISATION DU PRINCIPE DE RÉCIPROCITÉ

Développons le déterminant d'ordre ai + v que nous avons

désigné par

'Il • • • "^n ^1 • • • ^vy

suivant les éléments de la première ligne. On aura

Çl ... Çrt ^1 • • • ^v

TQl ... 'T\n Xi ... X.,

\Yll T^3 ... Tin Xi ... a^v

1), ... •»)„, a;i ... Xv

\7]i ... rin-i r^a ... a^v

Donc il sera

— j- / • • • / K ( ^ ' ) dxi . . . rfa^v

^- ^0 -^0 V^ii ••• ^,n ^1 .•• ^v/

— k(Ei,ïii) / ... / K \dx^...dx

^- t/() ,/,) \T,2 . . . r^n Xx ... Xy /

l Z*^ /• /^2 ••• ^« Xl . . . Xy\

En faisant les mêmes remarques qu'au paragraphe III on trouve que la somme des termes ^ k partir du /i'^™*, est égale à

par suite, ^ /£, ... U\ y XV ..__.. /^ ... U ., ... -v\^^ __^^^

V'^J ..• ■^«/ ^^v'^-Jq Jq \7i, ... 71„ a"i ... XyJ

1^ \r;2 ••• TQra/ ^vv.,^ J(, \7;2 ... r,„ xx ... a^v/ i ,

^^"^•Jq Jq \irii ... •/)„-! a?, ... a7v/ */o .Àd(v — 1)1 Jy J^ \7jt r^,j a7i ... Xy-xJ

L EQUATION DE FREDHOLM. IO9

Remarquons maintenant que le dernier terme pourra s'écrire

X / . • • / K W/^Ti . . . dx.,-{di

X dxi . . . dxy I dz.

C'est pourquoi, avec les notations introduites au paragraphe IV, on pourra écrire l'équation précédente sous ]a forme

Il est évident qu'on aura aussi

+ ( ^)n-i K(^^^ 7)i) Dk(^i, . . ., ^«-1 h2, . . ., -n/i) — X / k(t,y)i)Dk(^i, ...,UI'5^.2, ...,-nn)^"^.

Ces formules constituent le principe de réciprocité généralisé.