VII. — Discussion de la solution

En dérivant m fois le déterminant

no CHAPITRE m.

par rapport au paramètre X on obtient aisément les relations suivantes :

Puisque D^ est une fonction entière du paramètre X, les racines de l'équation D^ = o auront des degrés finis de multiplicité. Soit A une racine dont le degré de multiplicité est m, on aura

mais Djj'"' ne sera pas nul, et par suite

ne sera pas identiquement nul. Donc, quel que soit A, parmi les quantités Dji(^, . . . . ^^^ | ^, . . . . ^„) il y en aura une au moins qui n'est pas identiquement nulle. Cela posé, écrivons le principe de réciprocité généralisé sous la forme

= K(^i, 7]!) Dk(^2, . . ., ^t ! "^2, . . ., -r^n)

-^ (- i)«-i K(^,„ 7],) Dk(^,, . ..,U-x h,2, . . . , r,a)

En supposant que /i soit le plus petit entier, tel que

Dk(^, . • ., ç/? Ui, ..., >]«) ne soit pas identiquement nul, l'équation précédente s'écrira

Si l'on pose

L EQUATION DE FREDHOLM. III

on aura

et l'équation (i) deviendra

y*, (Tt, ) satisfait donc à cette équation intégrale homogène.

Or si /^ (x) représente une solution de l'équation (2), il en sera de même des fonctions

/2(t) = Dk(;i, . . ., Uhl; 'C, TQ3, ...,ï)«),

/3('t:) = Dk(çi, . . .,$«hi, r,i,x, ..., y)„),

en général toute fonction

Ai/i -4- A. 2/2 -4- ... + Anfn

où les Al, Ao? •••? A„ sont des coefficients constants sera solution de (2). Donc l'équation (2) est satisfaite par une infinité de solutions qu'on obtient en combinant linéairement les solutions fil fi-, "•■)/,{' Nous allons voir que ces solutions, dhes fondamentales, sont linéairement indépendantes.

En effet, si l'on fait dans Féquation (i) r,, ='ri2j et ainsi de suite jusqu'à yji ='f\m on obtient les n — 1 relations

/ K{x,r^i)fi(z)d' =T o (t = '2, 3,4,.. .., n)

auxquelles il faut ajouter, pour «"= i,

En faisant au contraire 7,2 =rj3, r,o = r,/, , et ainsi de suite dans la relation

on obtient les n — i relations

y K(x,i]i)f.2{z)dz =0 (t = i,3,4, ..., n),

et l'on a, pour i = 2,

— \f F(t, r,2)/2(T)ri?T=/2(r,2).

En continuant d'une manière semblable on peut construire le Tableau suivant :

f K(x,7iO/i('c)c?T, f K(T,7],)/2('c)ax, ..., f K(T,r,0/«(T)û?x,

f K(X,7;2)/1(X)C?T, / K(T,7]2)/2(x)rfT, ..., f K(t, 7)2 )/„(x) Û?T,

r K(x,t,„)/i(t)û^x, r K(x,7)„)/2(x)rfx, ..., /" K(x,ri„)/«(T)û?x,

où seuls les éléments de la diagonale principale sont différents de

zéro.

Gela posé, A'^ étant le nombre complexe conjugué de A,, envi-

sageons l'intégrale

di

qui, d'après les propriétés du Tableau précédent, s'écrit

I = X Al a; l' /i(t) K(x, Yii) «?x + AsA^y /2(x) K(x, r„) ./x +. . . 1

OU bien

mais comme

/i(^i)=/2(tQ2) ='--=fn{rin) = Dk(^i, ..., ^^1^)1, . ■ • , fin),

on a

I =— Dk(^i, .. ., hil'^ii, •• •.•^i«)^ A/ a;.

Supposons maintenant que

l'équation de fredholm. ii3

soit nul, T sera aussi nul et en vertu de l'équation précédente

Donc, tous les coefficients A/ doivent être nuls. Il est aussi intéressant de voir que la solution

A 1/1-4- A2/2+ . . . i- Xnfu

de l'équalion intégrale homogène (2) est la plus générale, c està-dire que toutes les solutions sont de la forme précédente, les A, étant des coefficients constants. En effet, multiplions l'équation homogène

(2') u{y)-\-li u(x)K(x,y) dx = o

Jq

par

et intégrons entre les limites o, 1 .

En changeant l'ordre d'intégration dans le deuxième terme, on aura

-+-X/ u{x)dx 1 K(^,jk)Dk(jk, ^1, ..., ^«1^, Tii, ..., Ti,j)c(x =0. Mais, d'après le principe de réciprocité généralisé,

— K(x, 7]i)DK(ii, ...,|/i|>s,Tr)2, ...,r)«)H-

En substituant cette expression dans l'équation (3), il vient

/ ii{x)Dy,{x, ^1, . .., ^„|.s, r,i, ...,r\n)dx -i- j u{x)[—'Di,(x, il, .. ., ^/j|-,Trji, . .., r^n)

-\- K{X, Z) Dk(^i, . . ., ^«hi, . . ., Tin)

H4 CHAPITRK m.

Les deux premiers termes s'éliminent et il reste

Dk(^i, . . ., ^«|r,;, .. .,-^«) / u(x)K(x, z)dx -f- Dk(^i, . . ., ^„|z, r,i, r^3, . . ., ir^,,) / u{x) K{x, r^^) dx -^ . . . =o.

Cette équation, en rappelant la relation (2), nous donne

wi(^i)

u{z) = Dk(^,, ..., ^„|s, r]2, • ••, ■^«)

+ (— i)*'-» Dk(^i, . .., ^nls, t],, . . .,Tl/-i,rH+ij • • •,'^«)

Dk(^i, ..., ^«hi, •.., >]„) ■ • • • ^

mais, en général, on a

C'est pourquoi

f^s) = Ai/i(5) + A2/2(^)-+-...-f- „/„(^).

Les conclusions que nous tirons de l'étude de l'équation intégrale homogène (2') seront donc : Si le déterminant Dj^ est différent de zéro, c'est-à-dire si \ n'est pas une racine de l'équation Dk = o, il n'y aura que la solution u(z) = o. Au contraire, si), est racine de l'équation 0,^=: o, le degré de multiplicité étant y, il y a /^ solutions fondamentales, linéairement indépendantes, (/i^y), au moyen desquelles on peut exprimer toute solution.

Ayant égard au principe de réciprocité généralisé, on vérifiera de même que l'équation

(1) ^(r)=— >^/ K(y,x)v(x)dx

possède n solutions linéairement indépendantes et n seulement.

L KQUATION DE FREUHOLM. Il5

i.es deux équations

et

ç(y) = — X / K(y, ce) u(x) dx

s'appellent des équations intégrales homogènes conjuguées.

ISous pouvons passer maintenant à la discussion de la solution de l'équation intégrale

cp(x) = a(;r)-t-X / K(x,y)u{y)dy,

Unicité de la solution. — Nous avons vu que la solution de de cette équation est une fonction méromorphe du paramètre X. Lorsque X n'est pas une racine de l'équation transcendante

la solution trouvée est unique. En effet, s'il y en avait deux, par exemple U\ [x) et Wo (^), en posant

Ui{x) — u^{x) = ^{x), on aurait

^{x) = \ f K(x,r)Hf)dr.

Mais cette équation intégrale homogène admet la seule solution 8(.r) = o. C'est pourquoi

Ui{x) = Ui{x).

Au contraire, si \ est racine de l'équation (5) et si l'équation

(6) o{x) = u(x)-^\ I K{x,j)u(y)dy

admet une solution, elle en aura une infinité, qu'on obtient en ajoutant à celle-ci la solution générale de l'équation homogène

(7) w(x)=—lj K(x,y)iv{y)dy.

Îl6 CHAPITRE III.

Mais sous quelles conditions l'équation (6) a-t-elle une solution?

ISous allons d'abord déterminer des conditions nécessaires.

Supposons que l'équation (6) soit satisfaite. f^{x)^f2{x)^ .. ., f,i{x) étant les solutions indépendantes de l'équation (-j) {voir page 1 1 1 ), multiplions par fi{x)dx et intégrons entre les limites o, i, nous aurons

/ /K^) ?(^) dx= l fi{x)uix) dx-\-\ \ uiy) dy j K{x, y)fi{x) dx. En vertu de l'équation (7) il viendra

/ fi{^)^{^)dx = l fi(x)u(x)dx~- f u{y)fi{y)dy = o.

Donc^ les conditions

(8) / fi{x)<u(x)dx = 0 (i = i,2, ...,n)

sont nécessaires pour que l'équation (6) admette une solution.

Démontrons maintenant que les conditions (8) sont, aussi suffisantes. Supposons en eflet qu'elles soient satisfaites. D'après les hypothèses précédentes, on a alors

/ u{y)\yK{x,^x, '..An\y,r^\, ...,r,n)dy

= / ?(r)'^K(^, ^1, ..., \n ijK,Ti,, ...,y;n)dy, et, d'après le principe de réciprocité généralisé,

/ u{y)ls.{\x,y)dy-]- DK(a-, $1, ^3, • ••, U\ '^a, •••,'^i«)

f u{y)K(^2,y)dy—...^l 9 (7) Dk(^,$i, ...,^n Ir.^i. •••. ^.«)^7

L EQUATION DE FREDHOLM. II7

c'est-à-dire

^ Dk(;i. . . ., çn |rj, 'r^,^)[o(x) — u{x)]

A|, Ao, ..., A„ étant des constantes par rapport ày. De cette relation on tire

B, , Bo, . . . B,i étant aussi des constantes.

11 est aisé de vérifier, en vertu des conditions (8), que la fonction u[x), ainsi déterminée, satisfait à l'équation (6), quelles que soient les constantes B,, Bo, ..., B,j. Elle constitue la solution générale de l'équation (6).

Viir. — Solution de l'équation de Frediiolm considérée comme cas limite

d'un système algébrique.

fiC point de départ de la solution de Volterra a été la conception des équations intégrales comme des cas limites des équations algébriques (comparer Chap. II, § II). C'est ainsi que les trois principes ont été obtenus. Nous avons vu que ces principes peuvent se transporter à l'équation de Fredholm. Nous allons voir qu'ils dérivent aussi directement du procédé qui consiste à regarder l'équation intégrale comme le cas limite d'un système d'équations algébriques. La différence entre ce cas et celui de Volterra est que dans ce cas, il faut calculer deux déterminantes, le numérateur et le dénominateur, tandis que dans le cas de Volterra^ il n'y a qu'un seul déterminant à calculer, le déterminant dénominateur étant égal à l'unité. C'est à cause de cette circonstance que, dans le cas de Volterra, on trouve pour la solution, des fonctions liolomorphes du paramètre, tandis que dans celui de Frediiolm, on trouve des fonctions méromorphes.

Il8 CHAPITRE III.

Envisageons le système (comparer Chap. I, § XI)

qui a pour cas limite l'équation intégrale (i) (§ I) lorsque le nombre des intervalles A<, ..., h,i croît indéfiniment, chacun d'eux tendant vers zéro. Ce système s'écrit

u(Xi)[l-i-'kK(Xi, Xi)hi]-\-u(Xi)'kK(Xi, cc.2)h2-i-. . ,

+ u{Xn)'kK(Xi, Xn)h,i= <f{^l),

u(Xi)'kK(x2, cci)hi-h 11(0^2) [i -\-K'k( X2, X2)h2] -\-. . .

H- u(Xa)'k K(X2, Xn)hri= ^(^1),

u{Xx)'k \i(x,i. Xi)hx-{- u(X2)}<^ K{Xn, X2)-r-. . .

. . '^u(Xn)[i~^'kK{Xn,3:n)h„\ = ':,(X,i).

Pour résoudre ce système, on voit qu'il faudra calculer deux déterminants et non plus un seul comme pour Téquallon de Volterra. Dans ce dernier cas on a pu décomposer l'unique déterminant en ses termes des divers degrés, dans le cas présent nous pouvons décomposer de la même façon les deux déterminants.

Le déterminant des coefficients est le suivant :

I + X K(a:i, a^i )A, lK(xi, x.2)/i.2 ... X K(xi, x,i)fi,i

\K( X.2. Xi )hi \ -^- lK(x.y, X2)/t2 ••• XK(^2'^«)^//

'kK(Xn, cci)hi 'kK(xn, X2)h2 ... I H- X K(^,i, a?,i)/i„

En le supposant différent de zéro, on aura, en le développant suivant les puissances de ).,

D = A -4- BX -+- GX^' — . . .-+- ÎNX"; ou, d'après le théorème de Mac Laurin,

D = Do+XD;+^D;-f-... + ^D[,'"

Dq, DJj, D'I,, ... étant les valeurs de D et de ses dérivées par rapport à \ pour X = o.

Or Do = I , D^ est évidemment égal à la somme de n déter-

L ÉQUATION DE FRKDHOLM.

minants, dont le premier est du type

Par suite,

I>u = ^ K(x/, ar/j/i/.

J) une façon analogue on trouverait

K(a;i,Xs) l\(xs,xy)

hjii,