IX. — APPIIOXIMATIONS SUCCESSIVES
Étant donnée l'équation
OÙ o(y) et K(x,y) sont des fonctions connues, finies et continues, posons en première approximation
it.( cr ) — o ( X' ).
En portant cette valeur approchée dans le second membre de l'équation, nous obtenons en seconde approximation
(2) u{x)= ^{x)-i- I K^(x,y)^{y)dy,
ayant posé K, (jc, y) = — K(x, y).
Si nous substituons cette valeur approchée de u (x) dans l'équation (i), et si nous posons
K2(^,r)= r Ki(x,i)K,(ly)dl
en remarquant que
I K,{x^y)dy f K,{y,\)o(X)d.\= f o,y}dy f Ki{x, l)Ki{lj) d'^
nous aurons en troisième approximation
u{x) = ^{x)^ I [Ki( X, y) -r- K.2{x, y)]o{y) dy.
En substituant de nouveau dans l'équation (i), on obtiendra
ii{x) = t^{x)'\- l [\>^\{x,y)-^\\i(x,y}-\-K:^{x,y)]o{y)dy, si l'on a posé
^■A^.y)= f \^i{x,i)\i.Jly)^ f K2(ar,OK,(tj)6/i.
En continuant d'une manière semblable on trouvera enfin
La série
^^Ki{x,y)
converge comme la série majorante
SI
Il est facile de voir que dans ce cas la méthode des approximations successives fournit la solution de l'équation (i).
Si on revenait à l'équation (i) du paragraphe I au lieu d'envisager l'équation (i), il faudrait remplacer le noyau K.(^, j^) par XK(jc, j), et alors la série
^VKi{x,y)
convergera comme celle majorante
si
Si nous regardons la série
oc
comme un élément d'une fonction analytique K (a) de la variable complexe A, et nous définissons cette fonction par la loi avec laquelle on calcule les coefficients de l'élément même, on constate que la fonction ainsi calculée est toujours une fonction méromorphc.
L EQUATION DE FREDHOLM.
