XI. — Cas ou li: noyau devient infini

Nous avons supposé jusqu'ici R(x,jk) fini dans tout l'intervalle d'intégration. Mais il peut arriver que le noyau devient infini en quelques points.

Nous avons déjà traité des cas où le noyau devient infini pour l'équation de Volterra. Nous allons envisager le cas de Fredliolni.

Soit

r^{x) = u{x)-\-l l K{x,y)u{y)dy,

où \s.[x^y) devient infini en quelques points. Substituons sous le signe intégral

à u{y). Alors, en posant

K,(:r,0= f K{x,y)K{y,\)dy, on aura

(i) u{x) = o(x) -l I K(x,y)o{y)dy-\-}^ h.i(x,y) u{y) dy,

équation qui garde le type de Fredliolm. 11 peut arriver que R, (.r,y) soit fini dans tout l'intervalle d'intégration ; dans le cas contraire, on recommencera de nouveau l'opération en partant cette fois de ( i ). Nous sommes donc amenés à envisager une suite de fonctions itérées

telles que

Si K(xjy) devient infinie comme : j-^ où o<<a<<i, ces

fonctions itérées sont finies à partir d'un certain rang /. On est ainsi ramené à l'étude d'équations de Fredliolm à noyau fini.

Pai^ exemple, si a <C -j Ri {^, JK) est finie dans tout l'intervalle d'in-

tegration.

L EQUATION DE FREDIIOLM. 125

11 y a aussi d'autres manières de traiter le cas des no}'aux singuliers.

Nous renvoyons pour cela aux travaux de Lalesco, Hilbert et d'autres (*).

XÏI. — Cas des intégrales multiples.

L'analyse que nous venons de développer se généralise sans aucune difficulté au cas des intégrales multiples. On peut avoir des équations intégrales de la forme

OU même du type

OÙ l'intégrale est étendue à une aire a- et le point x^ y est aussi un point quelconque de cette aire.

Pour passer du cas des intégrales simples à ces nouveaux cas, il suffît de remplacer dans les formules que nous avons données, à chacune des variables x, ^ qui paraissaient dans le noyau Iv (.27, ^), les groupes des variables x. y ; Hyi, qui paraissent dans les nouveaux noyaux. C'est ainsi, par exemple, que, en voulant calculer le déterminant de l'équation (i), il faut écrire

, 37,, j'i;a72,j2; .. .; ^vjv

K{x^,y^ 1^71, jKi), Kra7i,ji|x2j2),...K(x,,jKi|a7v,rv)

K(xv,jKv[^i,7i): K(>-v,7v|;r2,jK2), •.•K(a7v,jKv|^v,JKv) et former la série

DK=.i+y % r... rKf"^'^^'"-'"^"^^)^^irf7i...^-v^rv

Il est inutile de développer les différentes formules qui se présentent, ainsi que le cas des noyaux infinis qui se développent analoguement à ce qu'on a fait dans le paragraphe précédent.

(>) Comptes rendus, 1907; Gôtt. Naclirichten, 1904.

Xin. — xVpplicvtion au problème de Diriciilet.

Le problème de Dirichlet s'énonce de la manière suivante : Les valeurs d^ une fonction régulière harmonique dans un domaine S sont connues sur la frontière s. Déterminer cette fonction dans tous les points du domaine. Il a été résolu par M. Fredholm en le rattachant aux équations intég^rales. Envisageons le cas le plus simple, celui où le domaine S est plan. Si u est une fonction harmonique régulière, on a, d'après le théorème de Green,

/ d log - . \

r étant la distance entre le point x^ y et un point de la frontière 5, /? étant la normale à la ligne s interne au champ S.

Le problème de Dirichlet serait résolu si l'on pouvait éliminer -1- le lona: de s. On fait cette élimination dans beaucoup des an ^ ^

cas en calculant la (onction deGreen. Mais nous voulons envisager le cas général. M. Fredholm, en suivant Neumann et Poincaré, a mis la fonction harmonique u (oc^y) sous la forme d'un potentiel de double couche

d losr -

et a cherché de délerminer la densité inconnue o (s).

Supposons de nous approcher à un point Si du contour. On aura,

où r{s,Sf) dénote la dislance entre les points 5 et .9, du contour, ou bien

(') w(5i) = 7rcp(5,)H-y y(^)(^,^^'^^^cos/irj ds.

Si nous posons

F(^,^i)= .^\. cos nr

1 (S, Al j

l'équation dk fkedholm. 127

et si nous supposons de prendre pour unilé la longueur du contours, on trouve l'équation intégrale du type

u{Si) = 7:cp(5,) -h I 0(5) F{s,Si)ds,

dont le noyau est fini daus T intervalle d'intégration.

II est aisé de voir que le déterminant Df| - j de cette équation

est dilFérent de zéro. En eft'et, s'il était nul, il y aurait des solutions de l'équation intégrale homogène

{■>.) o = Tz ^(si) -i- I o(s) F{s^ Si) ds.

Or, si celte équation était vérifiée, le potentiel de double couche

prendrait des valeurs nulles en s'approchant au contour s du côté interne au domaine S. C'est pourquoi r, serait nul dans tout le domaine et sa dérivée par rapport à la normale interne serait aussi nulle. Mais la dérivée normale doit être continue en passant de l'interne à l'externe, par suite ^, a^ant la dérivée normale externe nulle, serait nul dans tous les points du plan externes au domaine S. On aurait donc

o = T.^{sy) — / o{s)¥ {s,Si)ds^

d'où Ton tire, en ayant garde à Téquation (2), (3) ?(^) = o.

Puisque l'équation (2) n'a que la solution (3), on peut conclure que Dp/^-j n'est pas nul. Par suile, en vertu de la théorie développée, l'équation intégrale (i) n'a qu'une solution, et, en remplaçant dans le potentiel de double couche la densité par cette solution, on trouve celle du problème de Dirichlet.