XIV. — Application aux équations des vibrations

a. Envisageons d'abord l'équation aux dérivées partielles du type hyperbolique

qu'on rencontre dans l'étude des cordes vibrantes.

D'Alembert en a donné l'intégrale générale sous la forme

OÙ F et <ï> sont deux fonctions arbitraires.

Mais nous chercherons avec Taylor une solution de la forme

On trouve les équations différentielles ordinaires

c étant une constante.

D'où l'on obtient aisément

c'est-à-dire, en considérant la constante c négative,

a = M sin( mt -t- a) sin( mx -+- |3),

OÙ c,, G2, Al, Ao, M, a et ^ sont des constantes arbitraires. Supposons que les extrêmes de la corde soient les points jr = o, x = l^ et qu'ils soient des points fixes. Alors on prendra |3=o et m devra être une racine de l'équalion

sin ml = G,

c'est-à-dire on aura

Ktt

K. étant un nombre entier.

Par suite,

„ . , Ktt \ . Kr

M = M sin ( — ^ t •+- a) SI n -j- J^-

l'équation de fredholm. 129

Chacun des mouvements individualisés par cette formule est un mouvement harmonique et toutes les périodes de ces mouvements seront données par

où R= 1 , 2,3,

Le procédé que nous avons suivi est un procédé ditïérentiel, mais nous pouvons arriver au résultat en employant un procédé de type intégrale. Il est moins simple que l'autre et, par suite, dans ce cas, il ne lui est pas préférable -, mais, comme nous allons voir, il a l'avantage qu'on peut l'étendre aux cas plus compliqués bien plus facilement que tout autre procédé. C'est pourquoi nous allons l'exposer. Les comparaisons qu'on en tire sont très suggestives.

Envisageons l'équation

(2) ^=F(x) (oi^^i),

l'expression

où \x — H I dénote le module de la différence, satisfait effectivement Téquation (2), et, comme l'intégrale générale de l'équa-

tion -; — = o est A^ -4- B, A et B étant des constantes arbitraires,

Tintégrale générale de l'équation (2) est donnée par

(3) 'Hx)=Ax-^B-^-ff(x,^)Fa)d^ où ia.^|=/(^,?).

Pour déterminer les constantes arbitraires, posons les conditions aux extrêmes 'i> (o) = M, •]> (i) = lN. 11 viendra

En substituant ces valeurs dans l'équation (3), il résulte

l3o CHAPITRK IH.

Ecrivons et remarquons que cette fonction est symétrique. On aura

Si 'li(3c) s'annule aux extrêmes, on doit faire

N = M =o et l'on a

(4) ^(^)= f G(.r,OF(^)^;-

Ceci posé, revenons aux deux équations ordinaires

en supposant, pour simplifier, /=!.

La solution de la seconde équation revient alors, en vertu de l'équation (4), à résoudre l'équation intégrale homogène

Or, pour qu'elle soit satisfaite, il faut que le déterminant de celte équation soit nul, c'est-à-dire

Dg(/>î2) = o.

Donc les valeurs de ni- et, par suite, les périodes de vibration, s'obtiendront en résolvant celle équation iransceudante qui a par conséquent les mêmes racines que l'équation (i), c'est-à-dire sin m=: o.

p. Envisageons maintenant l'équation des vibrations d'une membrane élastique, savoir

En posant

l'équation de fredholm. i3i

on aura

m étant une constante. On en tire

OÙ a est une constante arbitraire.

Si nous supposons que la membrane soit fixée au bord, il faudra que cp soit nulle au contour de l'aire o- occupée par la membrane dans l'état d'équilibre. Les périodes de vibration seront données par

C'est pourquoi il faut trouver toutes les valeurs de m pour lesquelles l'équation (y) est vérifiée, o étant nulle au contours du domaine t, sans qu'elle soit nulle dans tous les points de a-.

Dans l'équation (7) on ne peut procéder à la séparation des variables [comme nous avons séparé t dans l'équation (6)] que dans quelques cas particuliers. Pour étudier la question en général, employons la méthode intégrale que nous avons appliquée dans le cas précédent.

A cet effet, considérons l'équation

où F(:r, y) satisfait dans le domaine 1 aux conditions auxquelles doit vérifier la densité d'un potentiel logarithmique pour que le théorème de Poisson soit vérifié. Le théorème de Green nous donne

^^(.,^)=-L/(^-^,ogi-,ogl^)*-^|Fa„)iogiy.,

7' étant la dislance entre le point x^ y et un point variable de a ou

dn

//il" de 5, et 71 étant la normale interne. En éliminant -7— par la fonction

iZî CHAPITRE III.

de Green (J, on a

et si nous supposons que W soit nul au contour,

(8) '^'(^,y) = -^ rF(^,-/i)G(^,7,f,7))rfar,

ayant posé

— G(^,y, ;, ■^) = Jog- -+-(,'

11 est intéressant de remarquer que l'équation (8) correspond à l'équation (4).

Envisageons maintenant Téquation

et supposons que cp satisfait aux mêmes conditions auxquelles nous avons assujetti précédemment F. En substituant dans (8), ce et — m^^ au lieu de W et F, on obtient

équation intégrale homogène qui correspond à (5), mais dont l'intégrale est étendue à la surface plane o-.

Remarquons que cette équation a le noyau symétrique, en vertu d'un théorème bien connu des fonctions de Green. Il faut aussi observer que le noyau devient infini du même ordre que log/' pour X = 5, y = Tj. Mais nous remplaçons l'équation précédente par l'autre

(10) '^^^'^^'^ \T?j J 9(^rn)Gi(^,y,'z''0<^^^ = ^^

ou

L'équation (lo) a le noyau fini (voir § XI, XII).

Si l'on désigne par D(> (X)- le déterminant correspondant à

l'équation de fredholm. i33

l'équation (lo) où l'on a remplacé ^— par X, la quantité — ^^ ^^'^ satisfaire l'équation