I. — Idée générale de fonction
R. Descartes ('), le fondateur de la Géométrie analytique, fut le premier à introduire l'idée de fonction, liée à la variabilité des abscisses et des ordonnées d'une courbe.
G.-W. Leibniz et J. Hernoulli conçurent la fonction dans un sens plus étendu ; ce dernier a employé le mol fonction dans le sens qu'il a à l'état actuel.
La classification des fonctions en algébriques et transcendantes^ en explicites et implicites, en uniformes el multiformes^ est due à L. Euler.
La Physique mathématique a contribué à l'extension de l'idée de fonction : Le problème des cordes vibrantes fut ramené à l'équation connue :
dont rintégrale générale
(') Voir sur ce sujet : Encyclopédie des Sciences mathématiques, t. II, vol. I, fasc. 1.
CHAPITUH I.
contient deux fonctions, que d'Alembert appelait arbitraires^ et qu'Euler considère comme les expressions analytiques représentées par deux lignes planes quelconques. D. Bernoulli résolut le même problème par des séries trigonométriques. La diversité apparente entre les deux solutions fut expliquée à la suite des recherches de Fourier et Dirichlet sur les séries trigonométriques ( *).
En suivant la notion de G. L. Dirichlet nous pouvons, d'une, manière très générale, définir une fonction comme il suit :
Une variable z est fonction (univoque) d^ une variable x si, pour chaque valeur attribuée à x dans un intervalle donné, z prend une valeur déterminée.
La critique de la définition de Dirichlet fut l'origine de plusieurs discussions; citons à ce propos les très intéressantes recherches de M. Pierre Boutroux (-). L'idée de Dirichlet, qui ne définit aucune relation analytique entre les deux variables, descend évidemment d'une façon fort naturelle de la loi pJiysique.
Quoique l'idée de Dirichlet soit très générale, la fonction ainsi définie jouit de plusieurs propriétés, par exemple le théorème de Weierstrass sur les limites supérieures et inférieures ; sur ces propriétés s'appuie un vaste champ de recherches de G. Gantor, G. Darboux, U. Dini, Du Bois-Reymond, etc.
En posant certaines conditions on démontre la possibilité de représenter les fonctions par les séries trigonométriques ou par la série de Tajlor. Les théorèmes de Gauchj lient aux séries de Taylor les fonctions analytiques dans le domaine réel et complexe, et le développement en séries de polynômes introduit par Weierstrass, démontré de diverses manières par (•*) MM. E. Picard, G. Runge, V. Yolterra, H. Lebesgue, G. Mittag- Lefller, L. Féjer, M. Lerch, E. Landau, etc., a été complété ensuite par les recherches générales de M. W. Baire.
(') U. Dini, Série di Fourier (Introduclion ).
(^) Pierre Boutroux, Sur la notion de correspondance dans l'analyse mathématique {Revue de Métaphysique et de Morale, nov. 1904).
(^) E, BoREL, Leçons sur les fonctions de variables réelles^ Paris, 1903 p . 5o-56).
