SUR LES FONCTIONS QUI DEPENDENT D AUTRES FONCTIONS. S

II. — Fonctions qui dépendent d'autres fonctions. Fonctions de lignes.

Nous sommes obligés, pour étudier des problèmes plus généraux, d'étendre l'idée de fonction ainsi établie. En efi'et, quelquefois en Analyse et en Physique mathématique, on envisage des quantités qui dépendent de toutes les valeurs qu^ une ou plusieurs fonctions prennent dans un champ donné.

Par exemple, la température dans l'intérieur d'un corps dépend de toutes les valeurs de la fonction qui exprime la température au contour. La polarisation magnétique en un point dépend non seulement de la force magnétique actuelle, mais dépend aussi de toute son histoire magnétique {^). De même le potentiel newtonien d'un corps homogène déformable dépend de la forme du corps. Donc nous sommes amenés tout naturellement à aborder la théorie d'un nouveau type de fonctions^ qui diffèrent essentiellement des fonctions de fonctions ordinaires (-). Volterra a développé, dès 1887, ces idées, qu'il a appliquées d'abord pour étendre la théorie de Riemann sur les fonctions de variables complexes à l'espace à trois dimensions ; nous donnerons dans le paragraphe suivant quelques indications sur celte extension.

L'utilité de la représentation géométrique du domaine de variabilité d'une fonction est bien connue; au lieu à^ à^w^ fonction d' une ou de plusieurs variables réelles^ on dit quelquefois/o/iction des points d' un domaine à une ou plusieurs dimensions.

Les fonctions qui dépendent d'autres fonctions ont une représentation du même type :

Par exemple envisageons toutes les lignes continues qu'on peut tracer dans un domaine à deux dimensions ; en faisant corres-

(') V. Volterra, Sulle equazioni délia elettrodinamica {Rendic. Lincei, 1909, i" semestre), — Cii. Mauralx, Le magnétisme du fer (Coll. Scientia),

(-) V^ Volterra, Sulle funzioni clie dipendono da altre funzioni [{Bendic. £,t/ecet, 1887, 2* semestre) (Trois Notes)]. — Sopra una estensione délia teoria di Riemann sulle funzioni di variabili complesse [{Rend. Lincei, 1887, 2» semestre ; i888, i" semestre) (Trois Notes)]. — Sur les fonctions qui dépendent d'autres fonctions {Comptes rendus., 1906, 1" semestre). — Leçons sur les équations aux dérivées partielles [Leç. I, § 5-8; Leç. V, VI, VII] (Stockholm, 1906).

pondre à chaque ligne une valeur d'une variable, nous définirons une fonction d' une ligne (*) dans le domaine donné. On peut avoir ainsi une représentation géométrique des fonctions qui dépendent de toutes les valeurs d'une fonction d'une variable.

D'autre part, la Physique mathématique amène aussi à des notions concrètes sur le même sujet.

Imaginons un pôle magnétique fixe attirant un point magnétique m : la composante, par rapport à un axe, de l'attraction est fonction du point m; si m se trouve en présence d'un circuit électrique, on a une composante de l'attraction due au circuit, fonction du point m; mais si, m restant fixe, le circuit varie, la composante magnétique est fonction de la ligne qui constitue le circuit.

m. — Quelques applications des fonctions de lignes.

La théorie àe^ fonctions de lignes est d'une grande utilité dans plusieurs recherches d'ordre analytique et physique ; nous allons résumer d'abord quelques applications que M. V. Volterra a faites de cette théorie depuis longtemps. Nous donnerons après d'autres applications plus récentes. Et cela familiarisera en même temps le lecteur avec la notion de fonction de lignes (-).

a. Pour étendre la théorie des fonctions des variables complexes à l'espace à trois dimensions, on peut envisager deux ou plusieurs variables complexes fonctions des lignes fermées de l'espace, en les reliant par une condition analogue à celle de monogénéité (^) [liaison d^ isogénéitc). Le théorème que M. Poincaré (*) a donné comme extension du théorème de Cauchy pour les fonctions de

(') V. Volterra, Suite funzioni di linee [{jRendic. Lincei, 1887, 2« semestre (Deux Notes)].

(^) Pour l'application de ces idées à la théorie des opérations fonctionnelles^ voir la deuxième Partie du Mémoire de A. Viterbi, Suir operazione funzionale rappresentata da un intégrale definito^ considerata corne un elemento del calcolo {Annali di Mathematica^ t. XXVI, 1897) et' Tarticle de S. Pinchkrlk, Equations et opérations fonctionnelles {Encyclop. des Sciences niathéni., t. II, vol. V, fasc. 26).

(') V. Volterra, Leçons de Stockholm (1906, p. 32-34).

(*) H. Poincaré, Sur les résidus des intégrales doubles {Acta Mathem., IX). — E. Picard, Sur la théorie des fonctions algébriques {Journ. de Mathémat., 1889; Comptes rendus, t. CXXIV).

SUR LES FONCTIONS QUI DÉPENDKNT d'AL'TRES FONCTIONS. 5

deux variables complexes, montre la relation entre celte théorie et celle des intégrales des fonctions de deux variables complexes. En «généralisant aux espaces à plusieurs dimensions on peut avoir une théorie générale des intégrales des fonctions d'un nombre quelconque de variables complexes ( ' ).

b. Jacobi (-) réduisit les équations difFérentielles qu'on trouve en annulant la variation première d'une intégrale simple à la forme canonique de Hamilton. La solution de ces équations peut s'obtenir par des opérations de dérivation en envisageant V intégrale simple comme une fonction de ses limites et des valeurs arbitraires qu'on peut donner aux fonctions inconnues aux mêmes limites.

Si l'on veut étendre cette théorie aux équations différentielles qu'on trouve en annulant la variation première d'une intégrale double, il faut considérer, d'une manière analogue, cette intégrale comme une fonction des lignes qui limitent le domaine d'intégration et des fonctions arbitraires qui déterminent au contour les fonctions inconnues. C'est ainsi qu'on est amené dans cette question à considérer des fonctions des lignes et des fonctions qui dépendent de toutes les valeurs d'autres fonctions (^).

c. On connaît bien le théorème, relatif aux intégrales simples, qui permet d'envisager le théorème d'addition des fonctions trigonométriques comme une proposition de calcul intégral :

Si

r"^' dx r^' dy

et si les limites supérieures x^ y des intégrales sont les coor-

( ' ) V. VoLTERRA, Sopra una estensione délia teoria di Riemann sullefunzion di variabili complesse {Rendic. Lincei, 1888, i'^'^ semestre, 1" Note). — Sopr una estensione .... {Rend. Lincei, 1S88, 2" semestre, 2% S» Note). — Variabili complesse negli iperspazi {Rend. Lincei, 1889, i" semestre; 1890, 2» semestre. Trois Notes). — Sur une généralisation de la théorie des variables imaginaires {Acta Mathem . , 1 889 ) .

(^) Jacobi, Zur théorie der Variation, Rechnung und Différent. Gleich. {C relie, 17).

(') V. VoLTERRA, Sopra una estensione délia teoria Jacobi-Hamilton del. calcolo délie variazioni {Rendic. Lincei, t. VI, 1890), Leçons de Stockholm, 1906. Leç. VII.

données d^ un point de la courbe algébrique

y/l y-l ^ y sj y X'^ =■ C,

oit C désigne une quantité constante^ 1 ne change pas lorsqu'on déplace le point sur la courbe.

Ce théorème peut s'étendre aux intégrales doubles (') en donnant lieu à une proposition sur des fonctions de lignes. En effet, si l'on euAisage les trois intégrales

dv dz

il suffit que a-,, 0-2, 0-3 soient limitées par les projections sur les plans coordonnés d'une ligne quelconque de la surface

va?

x^-\- [i3= const.

avec }v + [A H- V = o, pour que la somme des trois intégrales soit constante.

d. 11 est conïiu que, à chaque solution de l'équation

t^2 a (>2 it^ dx^ Oy-

correspond une fonction conjuguée c. Si nous regardons u comme un potentiel logarithmique, la différence des valeurs de V en deux points mesure le nombre des lignes de force qui passent

( ' ) V. VoLTERiiA, Un teorema sugli intégrait multipli ( Atti Ace. Torino^ 1897

SUR LES FOXCTIOS QUI DÉPENDENT d'aUTRES FONCTIONS. 7

entre les deux points. De même on peut démontrer que, à chaque solution de l'équation

^2U d^V (PV

correspond une fonction V des lignes fermées de l'espace qui lui est conjuguée. U étant un potentiel newtonien, V mesure le nombre des lignes de force qui passent à l'intérieur de chaque ligne fermée.

Les relations connues entre u et v s'étendent aux fonctions U etV.

On peut passer aussi au cas de l'équation plus générale

^ âxr ~~ 1 = 1

en considérant des fonctions des hjperespaces. C'est par là que ressort le rôle des différents ordres de connexion des espaces à plusieurs dimensions dans la théorie des potentiels (*).

e. Un cas plus général que celui que nous avons envisagé en b a été traité par M. Fréchet en utilisant la théorie générale des fonctions des hyperespaces (-).

M. de Donder a généralisé les méthodes précédentes par l'emploi des invariants intégraux de M. Poincaré (^).

f. La théorie des fonctions des lignes et des surfaces a servi à 1\J. Hadamard pour calculer la variation infinitésimale des fonctions de Green et de Neumann et de la fonction de Green de l'élasticité lorsqu'on fait varier la forme des domaines auxquels elles correspondent (^').

Tout récemment M. P. Lévj est revenu sur ces questions dans sa Thèse de doctorat (Paris, 1911).

(') V. VoLTiîHRA, Leçons Stockholm, 1906; Leçon V.

(■-) Aniiali di Matematica di Milano, t. XI, 3" série, 1904.

(^) Bulletin de l'Académie royale de Belgique (Classe des Sciences), n° G, juin 1906.

(*) H AD AyiAUD, Leçons sut- le calcul des variations, Paris, 1910. — Becueil des jMëmoires présentés par des Savants étrangers^ 1908.