XV. — Application aux oscillations des liquides

Considérons un liquide pesant limité par une surface libre et des parois rigides. S'il accomplit des petites oscillations parallèles à un plan vertical x^y et indépendantes de la troisième coordon-

l34 CHAPITRE III.

née::, ^(x,y, t) étant le potentiel de vitesse, on a sur la sur-

race libre -—- = (x-—> sur les parois rigides ——=:zo a 1 intedt^ dn ' ^ du ^

rieur A-<I> = o, où n désigne la normale au contour, a une constante, / le temps. Posons <I> = sin /i^ cp (a?, y). Les périodes des

oscillations seront — "-j et les équations précédentes devien-

nent n- '^ -{- y, -^ = o ^ -^ = o, A-'j = o. Un en tire 'on ^ du ' *

/'i et /'2 étant les distances des points ^, ,jki et ^27^2 ^^^ points, o, y' la fonction de Green pour le problème dérivé de Dirichlet, et en supposant que l'axe horizontal x appartient à la surface libre dont la largeur est h — a. On déduit de l'équation précédente

(i) ç(a7,,o) — cp(a72,o)= / {\o^\x^—x\ — \o^\x^—x\-\-{)\^{x,o)dx.

"2 7t oc , /

Mais on a

I o(Xi, o) dx-2 = o.

En vertu de cette équation on peut éliminer 0(^21 o) de l'équation (i) qui se réduit à

cp(iPi,o)= / 'Si{x.(>)Çf{xi,x) dx.

Celte équation a le nojau infini, mais cela ne porte pas des difficultés. Donc, les périodes se déduisent des racines du déterminant d'une équation intégrale ( ' ).

(*) C'est en considérant ce problème que j'ai eu l'ocxasion, en 1898, dans ma conférence de Turin, sur le phénomène des Seiches, de remarquer que sa résolution peut s'obtenir par une méthode qui amène à l'emploi des déterminants infinis {Nuovo Cimento, 4° série, t. VIII).

M. Hilbert résout ce problème comme exemple d'application de ses résultats généraux sur les équations intégrales.

l'équation de FREDIIOLM. l35