XVI. — Hksolution d'une équation intégrale transcendante

Nous allons traiter ici l'équation intégrale générale à limites constantes dont nous avons dit déjà quelques mots (Cliap. I, § XI),

Nous supposerons que les noyaux K^ (^, ^,, . . . , Ç/) soient symétriques par rapport aux variables d'intégration S,, ..., H/. Nous envisagerons u[x) comme fonction inconnue et o [x) et les noyaux Kf(^, ç/, ..., Ç„) comme des fonctions connues. De même que les équations intégrales, considérées jusqu'à présent, peuvent être regardées comme correspondantes à des équations algébriques linéaires, celle-ci peut être considérée comme correspondante à des systèmes d'équations transcendantes.

Développons ( ' ) X ?< [x) en série suivant les puissances de jjl, en supposant que pour jjl = o on ait A = o. On pourra écrire

Pour calculer les coefficients, dérivons une fois l'équation (i), par rapport à ;ji, puis faisons-y |jl = o ; il résulte

équation intégrale linéaire du type de Fredholm, dont l'inconnue est — -j — • Supposons cjue le déterminant ne soit pas nul, alors en désignant par S, le noyau résolvant, on peut écrire

(*) \ .XoLTv.RRX, Leçons de Stockholm, leçon VII, 190(1; Sur les fonctions qui dépendent d'autres fonctions {Comptes rendus, i" sem. 1906).

l36 CHAPITRE III

Dérivons une deuxième fois (i) en posant de même [jl := o.Nous aurons

INous pouvons regarder dans cette équation — ^7~i — comme la fonction inconnue, toutes les autres fonctions étant connues. D'après l'hjpolhèse que nous venons de faire, le déterminant n'est pas nul, et l'on a

Jo Jo i (^\^ \oi dix )o

. + y^ ^i(^,b)«??3j^ K,(ç3,f,i,i2)j — d^\,] dix i/'«^^'-

oi nous remplaçons — ■ — r^-^-^ —^ — r--^-^ parles valeurs tirées ^ ' L «[^ Jo L «1-^ Jo'^

de la formule (A), nous aurons l'inconnue , \ sous la forme

^^ L <'^' Jo

[^^^^^^]^= f ' f'^.(^,'^uh)oai)^(U)d',,dU.

En calculant par le même procédé les dérivées successives, on trouvera en général

OÙ S/i(^, H<, ..., ^,i) est symétrique par rapport aux variables ç,, ..., ç„. Donc la solution de V équation intégrale transcendante (i) est donnée par

(5) lii(x) = [X(f(x)-^ix I Si(.r, ^i)cp(^i)o?^,

^tl f ... f S,(:r,^,,..o;.)?(çi).--?(^«)^;i...^;« qui est de la même forme que (i).

l'équation de fredholm. 187

l^oiir étudier la convergence, supposons qu'on ait

M et A étant des quantités finies positives. La série (i) sera convergente si

\lu(x) |< A.

Le déterminant n'étant pas nul, on saura que S, (^, ^,) est finie et par suite on pourra trouver un nombre <Ji , tel que

h-^S,(:r,^,)l<^i- Considérons maintenant l'équation

d'où l'on tire

il est évident que

Mais l'équation (6) peut s'écrire

En résolvant cette équation de second degré par rapport à y, on a

r^ -V[cri 3 -f- A ± /(ai^ -i- A)2- 4rriz( M a, TT)]