I. — Remarquks générales

Dans les équations intégrales, les fonctions inconnues paraissent sous des intégrales définies. On peut imaginer des relations du même type où, outre les fonctions inconnues, paraissent leurs dérivées. Ce sont les équations intégro-dlfférentielles. Nous allons montrer que des équations intégro-différentielles se présentent dans quelques questions de Physique.

Si dans un phénomène de Mécanique ou de Physique l'état futur du système envisagé ne dépend que de l'état actuel ou de celui infiniment voisin qui précède, on dit, selon la dénomination de M. Picard, que le phénomène n'est pas de nature héréditaire. Les problèmes qui s'y rattachent donnent lieu en général à des équations différentielles ordinaires ou aux dérivées partielles. Mais lorsque l'état futur du système dépend non seulement des valeurs de certains paramètres à l'instant actuel, mais de toutes leurs valeurs dans un intervalle de tem])s précédent, on dit que le phénomène est héréditaire.

Dans ces cas on est amené en général à des équations intégrodifférentielles. Nous allons le montrer par un exemple particulier.

II. — Le problème statiqle de la tousiox élastique hérédi lAïui:.

On sait, d'après la Physique élémentaire, qu'en première approximation le lien entre le couple de torsion Pet l'angle de torsion w est donné par la relation linéaire

où k est une constante qui dépend de la forme et de la nature du corps assujetti à la torsion. Or des expériences rigoureuses mon-

ÉQUATIONS INTÉGRO-DIFFÉRENTIELLES. l3g

tient que w ne dépend pas du moment de torsion actuel seulement, mais aussi de tous les moments précédents; sous cet aspect le phénomène est héréditaire. Pour simplifier, supposons que l'hérédité antérieure à l'instant fixe Cq soit négligeable. Alors il faut remplacer la seconde des équations précédentes par une équation du type

En supposant que F soit développable dans une série analogue à celle de Tajlor, on aura (comparer Ghap. l, § VIIJ)

(i) o^(t) = /cP(f)^ f <î>i(^':,)P(-i)«?-, -+-...

où les fonctions <^,i (^,':, ,..., t«) sont symétriques par rapport à T,,...,T//. Si tous les termes sont négligeables par rapport aux termes linéaires en P, l'équation (i) devient

(2) to(o = A-P(0+/ *(^-)P(-)^-.

Mous appelons ^{t, t) coefficient cV hérédité. Le problème statique héréditaire amène donc à une équation intégrale. En la résolvant par rapport au moment de torsion, on trouvera

(3) P{t)= A'oj{t)-^ f ot,'z)M(x)d-,

où '^(t^-z) se calcule moyennant <I>(^,t) d'après la règle connue (Châp. II, §11).

m. — Équation intégro-diffkrentielle du prorlèmi: dynamique