DE LA TORSION HÉRÉDITAIRE
Dans le cas que nous venons d'envisager, il faut supposer que les variations de fo soient très lentes, c'est pourquoi on le regarde comme un cas statique. Nous allons considérer le cas dynamique où la vitesse et l'accélération angulaires ne sont pas négligeables. C'est le cas des oscillations rapides. Pour le traiter on peut em-
l4o CHAPITRE IV.
jiloyer le principe de d'Alemberl. En effet, substituant dans l'équation (2) aux forces les forces perdues, on a
CD
(n=4p(0-^^]+/'[p(^)-,^^]*(.,^)rf^,
où jjL est une constante. Pour simplifier on a supposé t^ = o.
L'équation que nous venons de trouver est une équation intégro-différentielle de second ordre. Nous allons voir comineni on peut la résoudre.
On en tire
En intégrant par rapport à t entre o et 0, on a
d'où, suivant la formule de Dirichlet i^voii' p. 36),
^ (^t) dt — IX -^^^ -\- IX i^' {o) = I to(oU-+- / o{z,t)d-\dt, c'est-à-dire, en posant
fi a
J V(t)dt-ix^^^ -^ixco'{o)= f LO{t)f{^,t.)dt.
(^ette équation du premier ordre est aussi une équation intégrodifférentielle.
Ecrivons
dt
et intégrons par rapport à 8 entre o et T. On aura
r 7:(0)<iO— [jL(o(T)-4-[jL(o(o)-f-[Ji(u'(())T = f di) f M{t)f{^,t)dt
= f oj{t)dt f /(0,O^0,
ÉQUATIONS INTÉGRO-DIFPKRENTIELLES. Ml
et en posant
il viendra
jxto(T)+ r co(0'i^(T, 0^^ = 7(T)-l-iA(o(o)-f- ;xo)'(o)T.
On est donc amené à une équation intégrale de Volterra de deuxième espèce dont la solution est donnée par
w(T) = i[y(T)-h {jLoj(o)-+-jxto'(o)TJ
-\- f W(T, 0 [/.(O +lJtw'(o)< +- inxi(o)]dt.
Cette formule nous donne ainsi la solution complète du problème dynamique de la torsion élastique héréditaire dans le cas où les oscillations ne sont pas libres. Si les oscillations sont libres, il faut poser dans l'équation ( i ) P = o, d'où y = o.
IV. — ÉtLDE de l'équation INTÉGRO-DIFFÉRENTIELLE FONDAMENTALE
