DU TYPE ELLIPTIQUE

Nous avons considéré dans le paragraphe III une équation intégro-différentielle qu'on a pu résoudre en la ramenant à une équation intégrale ordinaire.

Nous allons envisager dans ce paragraphe une équation intégrodiiîerentielle qu'on ne résout qu'en appliquant des méthodes nouvelles.

Soit w(^, y, ^, t) une fonction de quatre variables. Pour simplifier nous supprimerons dans son expression les lettres x,y, z. C'est pourquoi nous écrirons

d'huit) d'-uU) àUi(t) ^ ^ ^ <Jx^ dy^ dz^

L'équation intégro-différentielle que nous éludions est

l42 CHAPITRK IV.

OÙ l'on a posé

fhifiif-A étant des fonctions finies et continues.

On l'obtient en considérant des phénomènes héréditaires en électrodynamiqiie (').

Nous pouvons la regarder comme le type des équations intégrodiîiérentielles elliptiques aux dérivées partielles, tandis que l'équation intégro-dififérentielle considérée précédemment est du type des équations ordinaires.

Commençons par démontrer le théorème:

u étant régulière dans un domaine S pour o^/<T, elle sera déterminée si V on connaît ses valeurs à la frontière o" de S pour les mêmes valeurs de t.

Supposons qu'il existe deux solutions u^ et u^ de (i). La fonction

a = M , — «2 satisfait l'équation

d'où

Si l'on intègre par parties et l'on remarque ensuite que les intégrales étendues au contour o- s'annulent, puisque au contour

en posant on obtient

(') VoLTERRA, Sur les équations intégro-différentielles et leurs applications {Acta Mathematica, t. XXXV).

ÉQUATIONS INTKGKO-DIFFÉRENTIELLES.

Or supposons qu'il soit

ii3

De l'inégalité

r\\àu(t

on déduit, en développant le carré,

dx IJ

dS-o,

r \dii{t) àiii-z) J^ I dx ôx

dS.

Analoguement on trouve

C'est pourquoi

âu{t) ôuiz)

dS.

r \du(t) âu(-)

\x dx

d'où

^^^(0 àitjz)

dS <MN/,

et a foj^tiori

duit) ôu{z)

A{t,z)dS

dx dx De la relation (2) on tire donc

f ^u{t)ds<:^l?\t

Par suite, on pourra écrire

< iMN t.

j Mi(t)db<—-,

)dS<

i44 Or

du{t)

dS î^ o,

où ? dénoie une quelconque des variables ^,y, z. D'après les relations (3), on a donc

du(t) du(x)

dS<MNt^'z\

d'où

Ainsi de suite, en remarquant que

on tire

/ ^u(t)dS<—^

Je {n