M (2 NO

Cette relation étant vérifiée pour n aussi grand qu'on veut, il viendra

c'est-à-dire la fonction m est constante par rapport à x^y^ z. Mais u est nulle au contour, donc w m o et

Nous appelons adjointe de (i) l'équation

où^<9<T.

Posons

H,.jr^.^[.(o^-«(o^]

rfa

-/ "^'X rfx^f2lh^>^-"(')^]/'<^'')™H''

n étant la normale externe au contour 1.

ÉQUATIONS INTÉGRO-DIFFÉRENTIELLES. .. l45

H<j dépend évidemment de toutes les valeurs des fonctions u et t> et est une fonction ordinaire de la variable 0. Nous écrirons donCj d'après cette remarque,

U est facile de voir qu'on a

(4) }\^{\u,v\,^)= Ç dt Ç {fv-^a)d%

lorsque v est une fonction régulière dans le domaine S pour o^^^85 1- Kn effet, considérons l'équation primitive

et son adjointe

On tire de la première

f dt I /v{t)dS- 1 dt I àiU(t)v{t) dS

d'où, en appliquant successivement le théorème de Green et la formule de Dirichlet (voir p. 36),

= — / lMii,v)dsdt-{~l 1 V -Y- dt d^

</^ / â?T / X^'('^)"~;ï — -cosnxfi(z^t) di^ et analoguement de la seconde, / dt I (^ u(t)dS = — 1 dt I à(u,v)dS+l dt j u-r-d^

-+- r ^^r di Ç ^u{t)^^^ cosnx f,{'z,t)da.

OnaposeA(«, .;=2,^îr ^^-