V. JO
l46 CHAPlTKl!: IV.
En retranchant les deux relations on obtient f dtf[/.(t)-^u(r,]ds=f cu f (^ç^- u^l^) d.
-^f\nfy.f'^[^(-.)'-^--uU)'^]A(^,n<^osn.d.-,
l'équation (4) est ainsi démontrée.
Si /= C5 rrr O, on a,
Pour déduire de l'égalité précédente, ou de l'équation (4), une formule analogue à celle de Green, il faut calculer une intégrale fondamentale de l'équation adjointe, c'est-à-dire une intégrale qui devient infinie de même ordre que -> r étant la distance entre un
point fixe (pôle) et un point quelconque x^y, z. Nous donnerons après dans un cas particulier le calcul de cette fonction fondamentale, en renvoyant au Mémoire qu'on vient de citer pour le calcul dans le cas général.
Pour montrer que l'équation (i) ne se pas ramène en général aux équations intégrales ordinaires, posons
y, -, O -^ / «(^, y^ ^' ')Mtr-) d- = V(a7, y, z, t),
(r, jK, z, t)-\- I ii{x, y, z,'z)f2(t,z)dx = W(a7, jK, z, t).
L'inversion de ces équations par la méthode que nous avons donnée dans le Chapitre II, § II, nous donne
= \{x,y,z,t)-^ f \ix,y,z,')f,it,-)d-
= \\(x,y,z,t)n~ f W{x,y,z,-.)f!,{t,z) dz. L'équation (i) s'écrira alors
ôx^ oy^ Oz-^ -^ ' ' ' ' ^
Nous sommes ainsi amenés à envisager au lieu de Féquation (^i)
ÉQUATIONS INTKGRO-DIFFKREXTIELLES. I/^y
un sjslème simultané de deux équations intégrales de Volterra et d'une équation difïérentielle avec les trois inconnues U, V, W. Les problèmes des résolutions des équations intégrales et de l'équation difïérentielle ne se séparent que si /, =f.^z=zf^ où Ton a
V. — Fonctions permutables et leurs compositions. Deux fonctions finies et continues, F, (^,y), F\>(^,jk), telles que
sont appelées permutables ('). L'opération précédente est appelée composition. F^ (x,y)j F2(^,^7) sont les composantes, le résultat de la composition est la résultante. Nous désignerons la fonction résultante par
ou plus simplement par F,F2, FoFi, lorsqu'il n'est pas possible de confondre ces expressions avec le produit des deux fonctions. Démontrons maintenant que la composition jouit de la propriété associative. Considérons, en effet, trois fonctions
et posons
f F\(a;,^)F,ily)d'^ -*(>,rX
En employant la formule de Dirichlet (voir p. 36), on aura f *(^,0F3(^,7)^^- r^^ r'Fi(^, -OF2(y), 0F3(.^r)^^i
= yF,{x,T,)drJ F^{r,,\)F^{\,y)d% =J F,{x,r,)W{-r„y)dr,.
( ^ ) Volterra, Questioni generali sulle equaz. int. e integro-diff. {Lincei^ 1910, 1° sem.). — Pour la permutabilité et la coinposilion de seconde espèce, voir aussi : Volterra, Sopra luia proprietà générale délie equazioni intégrait ed integrodiff. {Lincei, 1911, 2° sem.).
l48 CHAPITRE IV.
On peut écrire ce résultat symboliquement de la manière suivante
(F,F2)F3=Fi(F.2F3),
ce qui démontre la propriété associative.
On tire de là que, si l'on a des fonctions permutables entre elles, en les composant, on trouve de nouvelles fonctions qui sont permutables entre elles et avec les fonctions primitives. Pour démontrer cette proposition il suffît de remarquer que, si Fi, F2, F3 sont permutables on a
(FiF2)F3= F,(F2F3)= Fi(F3F2) = (FiF3)F2-(F3FOF2= FslFiFa).
Le résultat de la composition de n fonctions permutables F,, F2, . . . , F„ sera désigné par
FiF2...F„(^,j)
ou plus simplement par Fi F2 . . . F,,, et si les fonctions sont égales à F(:r, y) par F''(^, y) ou F".
On voit aisément que des polynômes rationnels et entiers dont les termes sont des fonctions permutables sont aussi des fonctions permutables et leur composition s'obtient par la règle de la multiplication des polynômes.
Exemples des fonctions permutables. — a. Si nous partons d'une fonction finie et continue quelconque F(^,y) et nous la composons avec elle-même de manière à calculer ce que nous venons de désigner par F-, F-', . . . , F/' et si nous formons des polynômes F^+ F^ -}-...-}- F', nous aurons des fonctions permutables.
Il est facile de remarquer que les opérations itératives que nous avons employées pour la résolution des équations intégrales ne sont que des compositions (voir Chap. II, § 2).
p. Deux fonctions finies et continues Fi(y — .r), F2{y ■ — -x) quelconques sont toujours permutables.
Envisageons en effet :
Posons
d'où
r^—x=y — \, d^= — dq.
ÉQIATIONS INTÉGRO-DIFFÉRENTIELLES. 1 49
L'intégrale précédente devient
-f '^^{r-ri)¥^{r,-x)dr,= f ¥,{y-^,)¥^a-x)dl c. q. F. D.
On a aussi
J Fra-x)F,(y-'^)d^^=J Fi(i;)F,(u - v) dv
= f Fi{u — v)F^{v)dv
OÙ l'on a posé
Cela prouve que la résultante est fonction de j^ — x^ de même que les fonctions composantes.
Les fonctions de jk — oc constituent toutes les fonctions permutables avec l'unité.
En effet, posons
f F{x,^,)d\= f' ^{ly)d\ = ^{x,y\
on aura
e'est-à-dire 4> et, par conséquent, F sont des fonctions de y — x.
Extension de V opération de composition. ^ — Si « est un paramètre constant, on représentera par a¥(^x^y) le produit de a par F. ¥i[x^y) et ¥s^[x^y) étant des fonctions permutables, t/, b étant des paramètres constants on aura que a¥i(^x^y) et b ¥s{x^ y) sont aussi permutables. En les composant on obtient ab¥i¥s^ d'où il résulte :
En combinant linéairement des fonctions permutables multipliées par des coefficients constants^ on obtient des fonctions permutables dont la composition résulte d'après les règles du produit des polynômes.
Si a et 6 désignent deux constantes, les fonctions
lOO CHAPITRE IV
n'appartiennent plus, en général, à l'ensemble des fonctions permutables avec les fonctions données. Cependant nous étendrons l'opération de composition en écrivant
OF,--=F,0 = aF,+ F,F,, 4^0 = 0'!^ = «6 4- aF^4- ^F,-i- F,F,.
