IV. — Quelques exemples de fonctions

QUI DÉPENDENT DE TOUTES LES VALEURS d'aUTRES FONCTIONS.

Notations.

l^n reprenant l'étude des fonctions qui dépendent de toutes les valeurs d'autres fonctions, remarquons qu'en général il n'existe pas de loi, de caractère analytique, qui donne la valeur delà quantité envisagée pour toutes les valeurs de la fonction donnée. Dans quelques cas seulement il y a une dépendance analytique : par exemple, lorsque, par des quadratures ou par des intégrations d'équations difîerentielles qui contiennent la fonction donnée, on peut passer des valeurs de celle-ci à la valeur de la quantité qu'on envisage. L'expression

est fonction de toutes les valeurs que C3(^) prend dans l'intervalle (a, b\ De même

où la forme de F(jc) demeure constante. C'est la forme de o (.r) qui règle la variabilité de I. En d'autres termes, I dépend des ordonnées en nombre infini de la ligne

I dépend d'un nombre infini de variables. Nous développerons cette idée, due à Volterra, dans la iliéorie des équations intégrales., où nous verrons, d'une manière plus générale, que les problèmes relatifs à I se présentent nécessairement sous forme de passage à la limite comme conséquence de la définition même de l'intégrale définie.

On peut donner d'autres exemples. Prenons l'intégrale générale de l'équation

et supposons données les valeurs jko, Jk'o, • • • , Jo" '' de y^ y\ . . .,

y{n~{) pour X = Xn.

y{ûo) dépendra non seulement de la variable x et des valeurs

SUR LES FONCTIONS QUI DÉPENDENT d'AUTRES FONCTIONS. 9

iuitiales yoj jk',,5 • • • ^ c>'o" ' ' ^^^^ encore de la forme de o(x) dans l'intervalle (xo, x).

Le cas que nous avons considéré de l'intégrale

o(t) F( X) dx

n'est qu'un cas parliculier du précédent lorsqu'on envisage l'équation dilTérenlielle

^ =cp(r)F(:r).

Pour une intégrale double

/ / '^(x,y)dxdy

étendue à 1 aire plane (S), la limite est le contour (c) de (S); si cette ligne contour se déforme d'une façon continue, l'intégrale QSV fonction de cette ligne [cf. § HT, b). De même l'intégrale multiple

/ "' ^(ori,.r2,...,Xn)dxidxz...dxn,

étendue à un hyperespace (N) à n dimensions, est fonction des kypeî espaces qui forment le contour du domaine d'intégration. Lorsqu'une quantité F dépendra de toutes les valeurs d'une fonction o [x] définie dans un intervalle (a, ^),.nous écrirons

(0 F = F|[cp(lr)]|

OU bien

Fir?(^)]i-

Si F est aussi fonction d'un paramètre $, on écrira

(2) F==F|[cp(!r)Jj|.

En général, si F dépend de plusieurs fonctions co, {oc), 02(^)7 •••, 'in {00) définies respectivement dans les intervalles {^\i ^^< )? (<"^2? ^2)? ••., {fin, b„), et de plusieurs paramètres ^,, ..., Ç„i,

on écrira

Dans l'étude de ces quantités nous supposerons toujours que les fonctions cp,(;r), ..., '^n{^) soient continues et assujetties à ne prendre que des variations continues.

D'une façon analogue on écrira, dans le cas où F dépend de toutes les valeurs d'une fonction de plusieurs variables dans un domaine (N),

(4) F = F|[cp(^i,:r2, ...,;r„)]|,

et si F dépend de plusieurs fonctions de plusieurs variables et d'un certain nombre de paramètres on fera usage d'une notation analogue.