V. — Variation d'une fonction

QUI DÉPEND DE TOUTES LES VALEURS d'aUTRES FONCTIONS.

Pour étudier les propriétés générales de ces fonctions nous partirons de l'idée générale de les considérer comme des cas limites des fonctions de plusieurs variables lorsque le nombre de ces variables croît indéfiniment.

Continuité. — Une quantité

F = F|[cp/;r)J|

est continue^ lorsque^ étant donnée une quantité <t aussi petite qu'on voudra^ on pourra déterminer z de telle sorte que^ la variation de ^ {oc) étant

on ait

lFI[cp,(:r)]l-F^[cp(:f)]!|<T.

De même, nous dirons que

F = F|[cp/(^), ...,On{x)- \u,..,U]\

,est continue, lorsque étant donnée o- on peut déterminer î de telle

SUR LES FONCTIONS QUI DÉPENDENT d'aUTRES FONCTIONS. II

sorte que, les variations des '^i{^) et des ^/^ étant respectivement

\yjA<- (/i = T, 2, .. ., nj,

la variation correspondante de F soit inférieure à a (*).

Sans doute, l'idée de continuité n'est pas épuisée par cette définition, mais elle nous suffira pour étudier un grand nombre de questions importantes. Par exemple, de même que pour les fonctions ordinaires (ou fonctions de points) en s'appuyant sur la notion de continuité, on étudie les ensembles de points et {ii^ points frontières ; de même dans ce cas on étudiera les ensembles de lignes et les lignes frontières (-).

On peut donner une forme géométrique à la définition de la

continuité quand on envisage F comme une fonction d'une ligne \.,

c'est-à-dire quand on pose

F = F|fL]|.

Soit \j une W^ne fermée, dépourvue de nœuds appartenant à un certain espace à trois dimensions. Soit une autre ligne L', toujours voisine de L, qui en se déplaçant décrit une surface tubulaire m contenant L dans son intérieur : l'espace (Q) compris dans (rn) est appelé domaine de la ligne L. Toute ligne qui, comme L, traverse en direction longitudinale l'espace (Q), est appelée ligne longitudinale de (Q).

\u2i fonction de ligne

est continue lorsque^ étant fixé un nombre o aussi petit qu'on veut, on peut trouver un domaine (Q) de L tel que les valeurs de F correspondantes à toute ligne longitudinale de {Ù) diffèrent de la valeur de F en h moins que o.

Dérivation. — Soit

F = F|[cp(^)]I

(') II n'est pas exclu, dans celte définition, que '^..{x) soit, par exemple, la dérivée de 9,(^), etc.

('-) C. Arzela {Mem. Istit. Bologna^ 1894) fut le premier à étudier les fonctions de lignes relativement à leurs valeurs frontières. M. Fréchet {Comptes rendus, 2' sem. 1904) étendit le théorème de VVeierstrass sur la limite maximum (minimum) d'une fonction réelle continue aux opérations fonctionnelles continues.

et calculons Wiccroissement de F correspondant à V accroissement de cp {x) : si {fig- i) AMGNB représente la ligne

choisissons une portion A = (jji, v), de l'intervalle (a, b) contenant un point G. Changeons o dans l'intervalle k et soit '|'(^) la variation de o dans cet intervalle.

Nous supposerons que 'l{x) est continue, ne change pas de signe et que l'on a |'| (^)| << s. La courbe nouvelle ayant pour

équation

y z= oi(^),

représentée par AMC|NB, ne sera donc que la courbe primilive déformée dans la partie MN. Nous appellerons accroissement de F l'expression

et, en désignant par <t la variation de traire dans l'intervalle

a = / [t^i{x) — ^{x')]dx,

on appellera rapport des accroissements la quantité

AF

Supposons que si l'on fait tendre l'intervalle (ut-, v) vers le point G d'abscisse ^, et cd, vers es, la limite du rapport des accroissements existe. Nous appellerons cette limite dérivée de F au

SUR LES FONCTIONS QUI DÉPENDENT d'aLTRES FONCTIONS. j3

point G. Cette dérivée dépendra de '^{x) et de E, ; c'est pourquoi on l'écrira

AF

(•>.) lim — =F'|[cp(:c), ^,]!.

Ce résultat était à prévoir si Ton se rappelle qu'on peut regarder F comme une fonction d'une infinité de variables, cas limite des fonctions de plusieurs variables. On reconnaît alors que ce que nous venons de faire correspond à une opération de dérivalion partielle.

Or une fonction de n variables Xs-, x^^ ..., Xn-, a /^ dérivées partielles dont chacune correspond à la variation d'une seule variable : dans le cas des F on a une infinité de déiivées qui dépendent de 5 {indice du point G) parce que nous n'avons varié que l'élément correspondant à G. Le nombre ^ joue ici le même rôle que l'indice de la variable par rapport à laquelle on fait la dérivation partielle.

On peut définir d'une manière analogue la dérivée première d'une fonction F de toutes les valeurs d'une fonction de plusieurs variables. Pour les fonctions des lignes dans les espaces à trois dimensions, on peut aussi envisager les' opérations de dérivation d'une autre manière que celle que nous venons de considérer. INous nous dispenserons d'en parler ici.

Ileprenons l'expression de la première dérivée de F

et laissant fixe ?i faisons varier 'v(x); si F^ est assujettie à des conditions analogues à celles posées plus haut pour F, elle aura une dérivée

qu'on appellera dérivée deuxième de F : elle contient deux paramètres il , ^2«

En continuant ainsi on trouve la dérivée n^^"^^ de F

qui dépend de la fonction (ù{x) et de n paramètres.

l4 CHAPITRE I.

On démontre, sous certaines conditions, que ces dérivées successives sont des fonctions symétriques par rapport aux paramètres. Cette propriété correspond à celle de l'inversion de Tordre de dérivation.

VI. — Application des idées de dérivation a une classe spéciale