PRINCIPES DE LA THÉORIE DES FONCTIONS D'UNE LIGNE. EXEMPLES

1. 4. Définilion, dérivation, calcul de la variation première d'une fonction de ligne. — 5. Exemples simples : les fonctions de ligne qui généralisent les polynômes homogènes à n variables. Extension de la série de Taylor. — 6. Les fonctions de ligne introduites par le calcul des variations. — 7. 8. Définition des fonctions de ligne par des équations difTérenlielles. — 9. 11. Digression sur les substitutions : l'intégration des équations différentielles linéaires n'est que du calcul intégral appliqué aux substitutions. — 12. 13. Extension aux fonctions de ligne de la formule de Stokes. Calcul d'une fonction de ligne, sa dérivée étant donnée.

1. Nous avons dit, dans le Chapitre précédent, qu'on peut prendre comme type de quantité dépendant d'une infinité de variables la fonction d^une ligne. Gomme une ligne peut être définie par une fonction (donnant, par exemple, l'ordonnée d'un de ses points quand l'abscisse est connue), on peut aussi considérer une fonction de ligne comme une quantité qui dépend de toutes les valeurs d^une autre fonction.

Nous allons d'abord rappeler, brièvement car elles sont maintenant très connues, les conceptions fondamentales qui se rattachent à cette notion ( ' ),

2. Soit une ligne polygonale {fig. 2) ayant n sommets d'abscisses fixes a, «,, «2, . . ., «„2, b et d'ordonnées jKijJ'a? • • 'lyn-, une fonction de cette ligne polygonale sera une fonction des n variables

yu y-., •••, yn,

(') Cf. VoLTKRRA, Sopra le funzioni che dipendono da altre funzioni {Rendic. Lincei, 1887, ^^ sem.,p. 97, i4i, i53) et Sopra le funzioni dipendenti da linee {Ibid.^ p. 225, 274). — Consulter aussi V. Volterra, Leçons sur les équations intégrales et intégro-différentielles professées à la P'aculté de Rome (Gauthier-Villars, igiS). Chapitre I.