PRINCIPES DE LA THEORIE DES FONCTIONS D LNE LIGNE

Elle aura, sous certaines conditions, n dérivées partielles du premier ordre

■jy. = FHj.,y2, ...,r«) {i= ', ■^: ..., n).

Mais une ligne quelconque peut être envisagée comme limite Fi g. 2.

d'une ligne polygonale inscrite dont le nombre des côtés augmente indéfiniment, ces côtés devenant infiniment petits. A la limite il est donc intuitif qu'une fonction de ligne aura (sous certaines conditions) une infinité de dérivées partielles correspondant, de même que précédemment, aux indices 1,2, . . ., /i, à l'abscisse de chacun des points de la ligne.

La dérivée partielle- — s'obtient en faisant varier)^,, toutes les autres variables restant constantes. De même pour obtenir la dérivée partielle d'une fonction de ligne relative au point d'abscisse ^, il faudra faire varier la ligne dans un domaine h qui renferme le point ^ (Jig. S), sans changer les autres parties de la ligne. Mais, avant d'aller plus loin, il faut préciser nos notations et poser certaines restrictions.

Nous admettrons que la ligne considérée soit définie pour x compris entre a el b par une équation y=f(x). La fonction de cette ligne se notera alors

Nous supposerons que la fonction / est une fonction continue. Nous supposerons aussi que F est continue, c'est-à-dire qu'en chan-

geant/(:c) en f{x) + cp(a:) avec |'f (:r)| < s, la variation de F est arbitrairement petite avec s. En d'autres termes

\F\[fix)-i-^(x)]\ — F\[/(x)]\\< 3- {\o{x)\ <£ suffisamment petit),

d étant arbitrairement petit (').

Revenons alors à la définition de la dérivée d'une fonction de ligne. Donnons à la ligne une variation dans un domaine d'amplitude h renfermant le point ^ et admettons que :

I. Les variations des ordonnées étant en valeur absolue plus petites que e et la variation correspondante de F étant ôF, on a toujours

M étant une quantité finie fixe.

II. Si la déformation de la ligne dans l'intervalle h a lieu d'un seul côté de la ligne primitive, c'est-à-dire est obtenue par diminution ou accroissement de toutes les ordonnées, et si d représente l'aire comprise entre la ligne primitive et la ligne variée, la limite

lim

oF

( ' ) La contiauité ainsi définie peut être nommée continuité pour un voisinage d'ordre o {cf. Hadamard, Calcul des variations, p. 49). On peut avoir aussi à considérer des fonctions continues dans un voisinage d'ordre i ou n : une fonction F|[/(a;)]| étant dite, par exemple, continue pour un voisinage d'ordre i lorsque en changeant /(:c) en /(a;) + œ(ar) avec \:s{x)\ < s, |9'(^)|<s la variation de F est arbitrairement petite avec z.