PRINCIPES DE LA THEORIE DES FONCTIONS D UNE LIGNE
existe. Celte limite étant fonction de la ligne /(^) et du point ç, nous la noterons
ni. Par rapport à toute fonction f{x) et à toute abscisse i, — lend uniformément vers sa limite.
IV. F'|[y(.r), ;]| est continue par rapport à/(^) et à ;. Nous nommerons ¥'\[f{x), i]| la dérivée de F|[/(:r)]| prise
au point \.
Puisque Ç peut prendre toute valeur entre a et ^, on voit bien qu'il existe une infinité de dérivées. Enfin, en comparant F'|[y(x), ^]| avec F^(y,, y.^^ ..., JK«), on constate bien que, comme nous l'avions annoncé, l'abscisse ç remplace dans la première dérivée l'indice i de la seconde.
8. Supposons maintenant que la ligne f{x) ait été déformée infiniment peu et sur toute sa longueur en restant continue. 11 est important de savoir calculer la partie du premier ordre de la variation de F.
Dans le cas d'une fonction de n variables j)^,, j^o, . . . , j-,, on trouve, si ùyi est la différentielle dey/,
8F = Vf;- 87/.
Dans le cas d'une fonction de ligne on trouve la formule tout à fait analogue (la somme étant seulement remplacée par une intégrale),
8F= f'¥'\[fix),\]\^f{\)dl
Nous n'en donnerons pas la démonstration, indiquons seulement qu'elle est une conséquence des conditions 1, II, III, IV posées précédemment (*).
La formule précédente peut aussi s'interpréter comme il suit :
(') Cf. VoLTERRA, Lincei Jîendiconti, 1887, 2' sem., p. 99, ou Leçons sur les équations intégrales et les équations intégro-dijfférentielles, p. 19.
l6 CHAPITKE II.
donnons ^f{x) un accroissement e '^{x) (') et soit , F|[/(^) + e4;(.r)]|-F|[/(:r)]|
lima= f ^•\{f{x),\\\^a)dl
4. On définira évidemment sans difficulté la dérivée seconde de F.
F'|[/(a?), ^]1 est, si \ est constant et égal à ^i, fonction seulement de/(^); si cette fonction satisfait aux conditions précédemment imposées à F (I, II, III, IV), on pourra en calculer la dérivée en un point ^2. On obtiendra ainsi une expression
qui sera la dérivée seconde de F.
Les dérivées secondes d'une fonction de n variables
àyt dys
dépendent de deux indices; de même, la dérivée seconde d'une fonction de ligne dépend de deux paramètres Ç,, ^27 le second
paramètre ^2 désignant l'abscisse du point où l'on modifie la
b courbe /(a?) pour dériver F' |[/(;r), ç,]|.
Dans le cas d'une fonction de n variables, on sait que, sous certaines restrictions, on a
dïY ()2F
^ji àys ()ys àfi
C'est le principe bien connu de Vinversion de V ordre des dérivations. Pour nos fonctions de ligne, on peut démontrer directement le résultat correspondant suivant :
(') Ou {mutatis mutaiidis) un accroissement fonction de x et de s et tendant vers zéro avec e.
PRINCIPES DE LA THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE LIGNE. 27
est une fonction symétrique des deux lettres ^,, ^2 (')•
On définira de même les dérivées successives et en général la dérivée n'^""®
qui est une fonction symétrique des n paramètres qu'elle contient.
0. Donnons quelques exemples : la fonction d'une ligne la plus simple qu'on puisse imaginer est
dx,
la fonction '^{x) étant fixée une fois pour toutes el/(x) étant seule variable. On peut l'envisager comme limite d'une fonction du premier degré de n variables
De même la fonction
F|[/(^)]l= f f f(x,)f{x.j,)^{xux^)dxidx.,, qu'on peut considérer comme limite pour n infini de
généralise dans notre théorie la notion de pol^-nome homogène du second degré. Et ainsi de suite, la fonction
(a) J ... J f{x,)f{x,)...f{XnM
XxiXi, . . ., Xn)dX\dXi . . . dxn
correspondant au poljnome homogène du n'""* degré ('). En considérant des sommes d'expressions (a) on aura de nouvelles fonctions de ligne, analogues aux polynômes non homogènes
{') VoLTERRA, Lincei Rendiconti, 1887, 2* sem., p. io3, 104. Nous en donnerons, à la fin de ce Chapitre, une démonstration fondée sur la généralisation du théorème de Stokes.
à n variables et si l'on forme enfin une série d'expressions [a) 1 ficr)<fi{.'r)dx-h- / / /(xi)f(x2)o2{xu^i)dxxdx2^...
convergente dans un certain champ fonctionnnel on aura l'analogue d'une série de puissances.
Réciproquement on peut chercher, une fonction de ligne
F|[/(^)]l étant donnée, à la développer en une série du tjpe précédent. On obtient ainsi des développements qui généralisent le développement d'une fonction de n variables en série de Tajlor ou de Mac Laurin : sous certaines conditions on démontre que (2)
Ce développement, si /(^) est supposée constante et si '\{x) est seule variable, est bien de la forme (a') (^).
Mais il est évident qu'avec de tels développements on n'épuisera pas les différentes fonctions qui dépendent de toutes les valeurs d'autres fonctions : pour le voir, il suffit de prendre, par exemple, l'expression
(') Remarquons que dans une fonction du type (a) on peut toujours supposer la fonction donnée !p(a;,, ^j, ..., x„) symétrique par rapport aux variables a?],
Si elle ne l'était pas, on pourrait en effet la remplacer par la fonction symétrique ^(^r,, x.„ ..., x„) = -^^-J ^^ 'lL
où ij, ij, ..., i^ représentent toutes les permutations des nombres i, 2, ..., n.
(^) VoLTKRRA, Lincei Rendiconti, 1887, 2= sem., p. io5.
(') Chaque terme du développement (a') est la limite d'une forme algébrique. Le second terme correspond à une forme quadratique. Son étude approfondie est renfermée dans les travaux publiés depuis 1904 par M. Hilbert, dont les intéressantes applications sont bien connues. Cf. D. Hilbert, Grundzûge einer allgerneinen Théorie der linearen Integralgleichuiigen. Leipzig, 1912.
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qui esl une fonction continue de toutes les valeurs de /(^), mais qui, au point x^ , n'a pas de dérivée au sens précédemment indiqué, puisque autour de ce point la condition ( I) du n" 2 n'est pas satisfaite. Il en est de même de la fonction
A/(x,)H-A,/'(a7,)-f-...-i-A„/""(a-,)-+-...-H / f{x)^{x)dx.
Nous dirons qu'une telle fonction dépend d' une manière spéciale des valeurs dejT et de ses dérivées au point Xs ; le point 37, sera à\l point exceptionnel ( ' ).
