L'intégrale simple
qu'on étudie dans le calcul des variations est aussi une fonction
Fll/(^)]l {')■ En calculant sa variation on sait qu'on trouve
B représenlanl des termes qui ne dépendent que des limites de l'intégrale. Donc, on a dans ce cas
ainsi la dérivée F' ne dépend de / dans l'intervalle «, ù, que par les valeurs de y" et dé ses dérivées au point ç.
F|[/(^)JI=/ f 'i>[f(Xi)J'(x,),...f(x,),f'(x,),...x,,x,]dx,dx„
(') VoLTERRA, Lincei Rend., 1887, 2" sem., p. i4i et suiv. Leçons sur les équations intégrales et intégro-dijférentielles, p. 26.
(-) Elle nous fournit précisément un exemple du mode de continuité envisagé plus haut (n° 2, Note) : Si <P est une fonction continue, l'intégrale est une fonction de la ligne /(x) continue pour un voisinage d'ordre n.
3o CHAPITRE II.
on aura
-f- — -j TFT- +. . . 0/(3^2 )> dXi dX2-^ B,
B représenlant des t-ermes qui ne dépendent pas des variations de / et de ses dérivées en d'autres points que a et b. En posant
...^ p{Xi,Xi),
df{xi) dxi d/'{xi) dx.2 Of\xi) d* d d*
= q{xi,Xz),
df{x^) dx^ àJ'{Xi) on a
Z¥=j'^f{\)d\J [p(^, r,) + 5r(vi,|)]«fr. + B,
d'où
F'[/(^r), U= f\pa,r,)^q{T,,\)\dr,.
Nous aurons enfin l'occasion, dans l'étude du principe du cycle fermé ('), de considérer des fonctions de ligne définies par des séries de forme
F= r ^,[x,f{x),f{x), ...]dx
■ -+- / / ^2[xi,f{xi),f'{xi),...,x,J{Xi),f'{xi),...]dxidx.i+....
Ces séries comprennent comme cas particulier les séries précédentes.
7. Nous montrerons, dans les Chapitres suivants, comment on peut définir de nouvelles quantités qui dépendent de toutes les valeurs d'une fonction, par une voie implicite tout à fait analogue à celle qui permet de définir les fonctions implicites ordinaires. Nous verrons que les équations intégrales classiques ne constituent que des cas particuliers simples de ces équations implicites. Mais
(') Chapitre VII.
PRINCIPES DE LA THEORIE DES FONCTIONS D UNE LIGNE. 3l
auparavant, nous allons indiquer une autre méthode analytique pour définir des fonctions de ligne en partant des équations différentielles.
Traitons d'abord un cas simple. Soit une équation difierenlielle linéaire du second ordre
d'^y dv
et une intégrale y{x) de cette équation déterminée par des valeurs initiales fixes de y et r'j. en x = o. Prenons la valeur de cette intégrale jkC-^) en un point d'abscisse X fixe. Si maintenant nous modifions /?(;r), ou ^(a?), ou p{x) et^(^)simultanément dans l'intervalle (OX), il est évident que y(X) sera une fonction de toutes les valeurs de p(x) et q{x) dans l'intervalle considéré.
Si, pour simplifier, nous supposons p{x) fixe, JK(X) sera une fonction
Nous allons nous proposer de calculer sa dérivée
y|[^^), ni;
nous utiliserons dans ce but la méthode générale déjà plusieurs fois employée dans les paragraphes précédents, qui consiste à calculer d'abord la variation première dejK»
Quand q prend une variation ùq, y prend une variation ùy telle que
si donc y, et ^2 sont deux intégrales fondamentales de (i), on aura Sj = Cxyx+G,y,^y^{x)J'^ ^'^^(^^'^^ °>(^) ^'
Cl et Ca étant des constantes à déterminer par les conditions initiales, à savoir
On trouve finalement
dx 1 x~
d'où l'on tire
Pour calculer la dérivée seconde, posons i ;= Ç| et supposons d'abord \<>'>\s. Alors jk, (^,), 72(^1)^ ^(^i); ^(i,) ne changeant pas, on aura
d'où finalement
yii[5'^),?2]i, j;i[9(''^),b]i
yiXx\
y"\Vq\^\\^,^^^V
I |.ri(X), JK2(X) I 1^1(^2). J2(Ç2)
D(^i)D(b)|jK,(?2), ^-2(^2) I IrK^i), ^2(^1)
Par suite de la symétrie par rapport à ^, et ^25 la dérivée seconde ainsi calculée pour io>^, sera aussi connue pour Ç2<ii. On pourrait d'ailleurs faire, dans ce dernier cas, le calcul direct et vérifier ainsi la symétrie : en effet, en remarquant que D(i,) ne dépend pas de q^ on aura
y"\U{^\%uhA\ =
y\\W^\U\. yWVql^^l.W
y^ao.
ri(X),
r'ilfs'^), ?2]|, y,\[g(%,U]\
yao
yai)
qui donnera, toutes réductions faites, la valeur chercliée de y"
PRINCIPES DE LA THÉOUIE DES FONCTIONS d'uNE LIGNE. 33
Le calcul de la dérivée n'''""' n'est pas plus difficile et l'on trouve
en supposant ii < Ç2< i3< • • • < L et en posant
8. Nous pourrons de même, en général, calculer la dérivée d'une fonction y |['^(x)] I définie par une équation différentielle quelconque (').
Soit l'équation
A (iy à" y , 1
-^P'' ^' • " ' 'dé' ^^^^' "î"^^^' • • •' T'""(^), ^J = o
et supposons données les valeurs de
dy d'i-^y
*^' dx' " ' ' dx''-^
pour .r = A.
La valeur de jk(-2^) en ^ = B dépendra de toutes les valeurs decp(:r)
dans l'intervalle A, B. C'est une fonction de ligne Y[[çp(.2;)]| dont nous voulons calculer la dérivée
Une différentiation nous donne
0/ = -^ 0 y -f- -r-7 0 k' -i- . . . H- — 4-T oy*"^ 4- -^ Sç •
d'où, en multipliant par une fonction à déterminer X et en intégrant entre les limites A et B,
(') VoLTEHKA, Lincei Rend., 1887, 2* semesire, p. i5J.
et enfin, après des inlégralions par parties classiques en calcul des variations :
formule où les pi et les qt sont des quantités faciles à calculer. On trouve
Pi
dx>^-'-^
,0^an-
qi
dx"^->-
-,ab,n
dyKh)
= bu.
Si nous prenons maintenant A solution de l'équation et si nous remarquons en plus que d'après les conditions initiales
i<^' dx^
il viendra
en appelant P^ la valeur de/?j en a; = B.
Or l'équation (2) est une équation différentielle linéaire du ^ième QYàre en \. Soit X,, Xo, ..., )v„ un système d'intégrales fondamentales. En remplaçant dans l'équation précédente X par X,, )v2, .... A„ successivement, on obtiendra un système de n
PRINCIPES DE LA THÉORIE DES FONCTIONS D'uNE LIGNE. 35
équations linéaires par rapport aux n quantités inconnues
8Y, -^SY, dx
dx"-^
On vérifie facilement que le déterminant des coefficients P/ est différent de o, si «n^o. En effet, si P,^, désigne la valeur de P/ quand on y remplace A par Xg-, ce déterminant peut s'écrire
Pfl.tï '0,25
Pl,l) 1*1, 2i
Po,«
Pl,«
dx' dl, dx
cf("-" x, dx^'^-ii
rft«-»'X,
rfar f/a:^"-
= ±a;jd,
A„ étant la valeur de «„ pour x = B.
On peut donc tirer des équations précédentes
oY
[m-l ^ -jB g
les A, et M étant des quantités (ne dépendant pas de Sip et de ses dérivées) qui se calculent sans difficultés. Si l'on nomme M/,, le déterminant réciproque de P/^ç, on aura
" = otZZ<-'>'^<^'''>""
De cette formule (4) on conclut que Y dépend d'une façon spéciale de cp et de ses dérivées jusqu'à l'ordre (n — i) aux points A et B, et qu'on a
Y'I[<P(^), ni=M- 9. Lorsqu'on a l'expression
y=J f{x)^{x)dx,
ovi f{x) est une fonction fixe, tandis que o{x) est variable, on voit d'une manière évidente comment on calculera y à partir de toutes les valeurs de f (^) dans l'intervalle A, B. Il suffit de se rappeler la définition même d'une intégrale.
Lorsque y est définie par une équation générale du type ( i ') il est de même utile de savoir l'obtenir par des calculs effectues sur toutes les valeurs de cp [x) et de ses dérivées dans l'intervalle AB. Il suffit pour cela d'utiliser la méthode donnée par Cauchy pour démontrer l'existence des intégrales des équations différentielles, ou encore la méthode des approximations successives de M. Picard. Et ceci se rattache à ce que nous avons dit dans le premier Chapitre où nous avons regardé l'opération d'intégration d'une équation différenlielle comme une opération infinitésimale du même type que la quadrature (*).
Nous allons développer celte idée, non pas dans le cas général, mais dans le cas particulier des équations différentielles linéaires.
Nous avions indiqué, dans le premier Chapitre, que l'intégration des équations différentielles linéaires n'était que le calcul différentiel et intégral appliqué aux substitutions : c'est ce fait que nous allons démontrer maintenant (-).
Je me permets cette petite digression à côté du sujet principal : en plus de son ^intérêt propre, elle nous sera l'occasion d'énoncer quelques théorèmes sur les substitutions, théorèmes que nous utiliserons dans l'étude, l'une des plus importantes que nous ayons à faire dans les Chapitres suivants, de V opération de composition (3).
10. Bappelons d'abord ce qu'on entend ^^at substitution linéaire. Soit le tableau carré
ai2, ... ai
«22î • • • «2rt
(') Chapitre I, n° 5.
(2) Clîapilre I, n» 6.
(') Chapitre IX
PRINCIPES DE LA THEORIE DES FONCTIONS d'uNE LIGNE. 87
il définit une substitution linéaire, parce qu'il peut servir à transformer linéairement des variables
Xi, Xz, ..., x„
en des variables
yu ^2, ••■, Xn,
par les formules
yi = a,iXi-h . . .-h a in Xn C i = i , 2, . . . , n ). Soit une nouvelle substitution linéaire { bu, ... 6,„
(bnu ... b„„
appliquer aux x la substitution S, puis la substitution T revient à leur appliquer une substitution U qu'on appelle produit des deux substitutions S et T, et qu'on écrit
