US-«=T

T~* et S~' étant les substitutions inverses de T et S, c'est-à-dire

telles que

T-»T = i, SS-i = i,

équations où i désigne la substitution identique représentée par le tableau

Remarquons enfin que puisque la multiplication n'est pas commutative, la substitution TST~' ne coïncidera pas en général avec la substitution S. On la nomme transformée de S par rapport à T.

Jl. Supposons maintenant que les coefficients ais de la substitution soient des fouQtions continues etdérivables d'une variable a?. Nous dirons que la substitution est fonction de x et nous la noterons

F^ormons

S(j? -+- dx)

et les produits de substitutions

(6) S-i(a7)S(^ + rf:r),

(7) S(iF + <ia?)S-i(a7),

Ces deux substitutions, qui en général ne sont pas égales entre elles, sont infiniment voisines de la substitution identique, c'està-dire qu'elles sont de la forme

les quantités £j^ étant des infiniment petits du même ordre que dx. Retranchons l'unité des éléments de la diagonale, divisons par dx et passons à la limite, on trouvera en général deux limites différentes selon qu'on est parti de l'expression (6) ou de l'expression ij-j). Ces limites existent et on peut les appeler dérivée à droite et dérivée à gauche de la substitution primitive.

Pour définir l'intégration des substitutions, prenons maintenant une substitution T(^) dont les éléments soient des fonctions continues de X dans l'intervalle a, h. Divisons a^ b en n parties h^^ /î2, ... 5 hii et considérons les substitutions T,, To, . • , , T„ telles que Tj = T(a7j), xt étant un point intérieur à l'intervalle A/. Multiplions par hi les éléments de T/ et ajoutons l'unité aux éléments de la diagonale, nous obtiendrons une substitution R, qui est très voisine de la substitution identique dès que hi est petit. Soient les

PRINCIPES DE LA THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE LIGNE. iç)

deux produits

(8) R,R2...R„ et

lorsque, n augmentant indéfiniment, les intervalles A,, /jo, . . . , h„ tendent vers zéro, les deux produits (8) et (9) tendent vers des limites différentes de l'identité. Ces limites peuvent être nommées intégrales entre a et è de la substitution T et l'on voit que de même qu'il y avait une dérivée à droite et une dérivée à gauche il y aura une intégrale à droite et une intégrale à gauche.

L'opération d'intégration que nous venons de définir est bien l'opération inverse de la dérivation étudiée précédemment. En d'autres termes si, partant d'une substitution, on l'intègre à droite puis la dérive, on retombe sur la substitution primitive. On peut de même transporter au calcul intégral et difierentiel des substitutions la plupart des théorèmes du calcul intégral et différentiel ordinaire.

Nous sommes maintenant en état de montrer comment cette théorie comprend celle des équations différentielles linéaires : soit la substitution

, o, 1,0, ci

Pn, Pu-\, Pï, O

où />2, ..., pn sont des fonctions finies et continues de x. Formons son intégrale à gauche entre a el x par le procédé indiqué précédemment. Onconstatera sans peine qu'elle est de forme

v'i(x), v'^ix), ... Vn(oe)

(',(37), t'a (-3^)5 . • ., t'n(^) étant n intégrales linéairement indépen-

4o CHAPITRE II.

dantes de l'équation difTérenlielle linéaire

et ceci montre bien que la connaissance de S(^), substitution intégrale à gauche de T(j7), entraîne la connaissance de l'intégrale générale de l'équation (9').

Nous ne développerons pas cette théorie qui nous entraînerait en dehors du cadre de ces leçons (-); il nous suffit d'avoir montré nettement que, pour intégrer l'équation différentielle, il faut opérer sur toutes les valeurs des coefficients entre a et x et que par suite les intégrales dépendent évidemment de toutes les valeurs des coefficients entre a et x.

12. Considérons pour terminer le cas où x est une variable complexe, T étant une substitution fonction de celte variable. Nous représenterons alors x =^\ -\- ir^ par un point d'un domaine plan et nous pourrons définir l'iutégrale de T prise le long d'une courbe de ce plan. Si nous calculons celte intégrale le long d'une courbe fermée s ne contenant dans son intérieur aucun point singulier des coefficients de T, nous trouverons pour résultat de l'intégration la substitution identique; si au contraire la courbe fermée s contient des singularités de T, nous trouverons pour résultat une substitution S différente en général de l'identité. Si enfin nous intégrons le long d'une seconde courbe fermée 5, contenant les mêmes singularités que la première s, le résultat S, de l'intégration n'est autre que la substitution S transformée par une nouvelle substitution A : on a

Si = ASA-i.

Ces théorèmes sont les théorèmes classiques de Cauchy sur les

(') A laquelle, comme on le sait, se ramène l'équadon difîérentielle linéaire générale

( 10) jK<"^ = /?i.r("-''-H/?2r^"~''+- ••+/'„r-

(') Pour plus de détails, consulter Volterra, Sui fondamenti délia teoria délie equazioni differenzialL lineari [Mernorie délia Società llaliana délie Scienze ( detta dei XL), 3« série, t. VI].

PRINCIPES DE LA THEORIE DES FONCTIONS DUNE LIGNE. 4l

intégrales des fonctions de variable complexe transportés à la théorie des intégrales des substitutions.

Nous ne nous occuperons pas de l'extension de la théorie des résidus qui se présente ici tout naturellement et qui conduit à nouveau aux résultats de Fuchs sur les équations différentielles linéaires. On voit tout de suite que cette question est étroitement rattachée à la suivante : étude des substitutions qui sont les transformées l'une de l'autre par une troisième substitution.

L'intégration des substitutions qui dépendent d'une variable complexe conduira, toujours comme l'intégration des fonctions de variable complexe, à des substitutions tantôt monodromes, tantôt poljdromes. La polydromie consistant ici dans le fait qu'en revenant au point de dé[)art, la substitution est multipliée par une substitution constante. L'intégrale d'une substitution monodrome sur une surface de Riemann est en général poljdrome, et si l'on a ■effectué sur la surface les coupures qui la rendent simplement connexe, les valeurs de la substitution des deux côtés de chaque coupure se déduisent Tune de l'autre par la multiplication avec une substitution constante : cette dernière substitution jouant un rôle analogue à la constante de coupure.

Les substitutions qu'on obtient ainsi peuvent se noxnmeT substitutions abéliennes . Il faudra les séparer en deux classes : celles que l'on peut exprimer par des intégrales abéliennes et celles qui ne sont pas susceptibles d'une telle expression. Les premières sont dites apparentes et les secondes essentielles. H est très important de savoir distinguer les unes des autres, afin de savoir quand on obtient des transcendantes connues et quand, au contraire, on en introduit de nouvelles (').

La question se ramène à trouver toutes les substitutions permutables avec une substitution donnée et à voir sous quelle condition les substitutions permutables avec une substitution donnée sont permutables entre elles. Les mêmes problèmes se posent dans la théorie des fonctions permutables de deuxième espèce que nous

(') Cf. VoLTKHRA, Sui fondamentl délia teoria délie equazioni differenziali Jineari { Memorie délia Società Italiana délie Sclenze^ 3' série, t. XII ), § 8, théorèmes V et VI.

aurons l'occasion de développer ('), aussi je vais exposer rapidement comment ils se résolvent (-).

Formons l'équation algébrique

si (0, est une racine de multiplicité /, (to — io/)'^sera un diviseur du déterminant. Soit (co — to/)'i la plus haute puissance de w — oj/ qui divise tous les déterminants mineurs d'ordre n — i, (w — to,)^» la plus haute puissance qui divise tous les déterminants d'ordre n — 2. et ainsi de suite. Soit

d'où d'où enfin

(co — to,)' = (W; — Wij«(a) — a)/)«i(a)j — co,)''

chacun des facteurs (to — iùiY" est dit un diviseur élémentaire du déterminant.

Ceci posé, la condition nécessaire et suffisante pour cjue toutes^ les substitutions permutables avec

«2re

soient permutables entre elles, est que tous les diviseurs élémentaires aient des bases to — w, différentes. Nous nommerons alors la substitution S substitution élémentaire.

En outre, les diviseurs élémentaires étant connus, on peut calculer toutes les substitutions permutables avec S.

(') Cf. Chapitre XII, n° 3.

(^) Cf. VoLTERRA, Sulla teoritt délie equazioni differenziall lineaii, § 6 {Rend, del Circolo M. di Palermo, t. II, i888); Sui fondamenti délia teoria délie equazioni differenziall lineari, Préliminaires {Memorie délia Société Italiana délie Scienze, série III, t. XII).

PRINCIPES DE LA THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE LIGNE. 43

13. Nous avons vu, au début de ce Chapitre, comment un passage du fini à l'infini amenait de la notion de fonction de n variables à celle de fonction de toutes les valeurs d^une autre fonction. Les notions de dérivée partielle, de différentielle totale, se sont généralisées immédiatement. En général, ce même passage à la limite nous permettra de passer des propriétés ou des problèmes relatifs aux fonctions de n variables à des propriétés ou des problèmes relatifs aux fonctions qui dépendent d'autres fonctions. Nous en rencontrerons tout le long de ce cours de nombreux exemples. En voici un, la généralisation du théorème de Stokes, qui nous permettra de résoudre le problème fondamental suivant : reconnaître si une fonction

Gl[/(/u]l

est la dérivée d'une fonction de ligne et calculer cette fonction. Le théorème de Stokes s'énonce

(lo)

1 C{\dx-^Ydy-^Zdz)

* rvfdz d\\

( = / — - cosn^