II
dxi
lyi^"^'
Zd
dX/\ d(rs,Xr) dxs dx,.) d{u,v)
du dv^
formule qui contient la précédente pour 11 =3. On pourrait lui donner une interprétation géométrique en regardant a?!, ajj, ...^x,i comme les coordonnées d'un point d'une surface dans l'espace à n dimensions. C'est tout à fait inutile pour les considérations suivantes.
14. 11 est maintenant facile de passer dans la formule (11) du nombre fini au nombre infini de variables. Il faut remplacer OT), x^, . . ., Xa par une fonction x{^l) définie pour
l'indice t remplaçant les indices i, placer les fonctions X,, Xj, ..., X^
2, ,.., n. Il faut enfin rempar une quantité dépendant
PRINCIPES DE LA THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE LIGNE. 4$
d'un paramètre r, (*) et de toutes les valeurs de x{t) dans l'intervalle a6. Soit
X^o-fo, ri]|
cette quantité.
Supposons maintenant" qu'à chaque point de l'aire w corresponde une fonction x{t)^ soit que l'on connaisse
et notons
celles de ces fondions qui correspondent aux points du contour de w. Admettons enfin que ^ et X soient continues et dérivables. Il est facile de démontrer la formule suivante :
I, ysJ\\x{t I M, v)^ '/], i]| désignant la dérivée de
X|[:r(^|«, c'), rj|,
b considérée comme fonction de x{t)^ prise au point < =: ^ et
désignant la dérivée de
prise au point t = 'f\. En d'autres termes, le second paramètre qui figure dans la dérivée indique le point oiî l'on effectue la dérivation.
( ' ) Jouant le rôle des indices i, 2, ..., n.
La formule (12) est la généralisation attendue de la formule de Stokes. Pour la démontrer directement il suffît d'appliquer à la transformation de l'intégrale curviligne du premier membre la formule de Green
en utilisant, pour calculer
zr ^^ -r
le résultat du n" 3 sur la variation première d'une fonction de ligne. Le premier membre de (12) s'écrit alors
— ^\J X|[a;(^jM,0,-^i]l -^ Ijdudv,
mais comme on a (n° 3)
-jy^ XI[.(y«,.),vi]| ± ^,j
et une expression analogue pour
— / X\\x(t\ u,v),r.]\ — !-! — ■ — -dr.},
on arrive finalement à la formule (12).
15. Indiquons une application delà formule (12). Le théorème de Stokes ordinaire peut servir à déterminer les conditions nécessaires et suffisantes pour que
Xdx-hY dy-^Zdz,
PRINCIPES DE LÀ. THÉORIE DES FONCTIONS d'iINE LIGNE. 47
soit une difierentielle totale exacte et à intégrer cette différentielle. La formule (i i) peut servir à trouver les conditions pour que
soit une differenlielle totale exacte et à intégrer cette expression. On peut tirer de même de la formule (12) la condition pour
que
X|[X(0, r)]| 037(71) rf-iQ
soit la difl'érentielle totale exacte d'une fonction de ligne que nous saurons alors calculer. Il faut que
le second paramètre indiquant toujours, dans les expressions précédentes, le point où l'on effectue la dérivation.
C'est la condition de symétrie de la dérivée seconde que nous avions déjà indiquée.
On peut énoncer le résultat précis suivant :
La condition nécessaire et suffisante pour que X|[.r(;), y,]|
soit la dérivée d\ine fonction de ligne F|['2^(0]| ^^^ Ç'"^
(i3) X'K^'O, 7], ^]1=X'|[:p(0, ^, rj|.
On saura calculer cette fonction de ligne.
Supposons en effet que, y) étant compris entre a et 6, X|[T(<),rj]|
existe quelle que soit x{t) pourvu que cette fonction soit continue et que ses valeurs soient comprises entre des limites bien déterminées M, N. X est ainsi définie dans un certain champ fonctionnel. Pour calculer F|[a^(/)]| dans le même champ fonctionnel, on pourra prendre arbitrairement sa valeur lorsque la fonction variable x{t) prend une forme déterminée :ro(f) appartenant au champ fonctionnel précédent. Ensuite il suffira de construire une fonction de deux variables ic(^ | 5), comprise entre les limites M, N,
