LA THEORIE DES FONCTIONS DE LIGNES ET LE CALCUL DES VARIATIONS
-1. Nouvel exemple de théorie qui s'étend aux fonctions de lignes : la théorie des fonctions implicites. — 3. Les problèmes de variations conduisent à des fonctions de lignes implicites : cas du calcul des variations ordinaires. — 4-5. Exemples de problèmes de calcul des variations conduisant à des équations intégrales ou inlégro-dilTérentielles. — 6-7. Nouvel ordre d'idées : les résultats de Hamilton- Jacobi sur les équations de la Mécanique. — 8. Nécessité, pour l'extension de ces résultats aux systèmes à infini degrés de liberté, de la considération des fonctions de lignes. Exemples.
l . Nous avons considéré jusqu'ici des quanlilés qui dépendaient de toutes les valeurs d^ une fonction (Vune variable. Celait pour étudier d'abord le cas le plus simple. Mais il est bien évident que nous pourrons, d'une manière tout à fait analogue, étudier des quantités qui dépendent de toutes les valeurs de deux ou plus de deux fonctions d'' une variable et aussi des quantités qui dépendent de toutes les valeurs dhine ou plusieurs fonctions de plusieurs variables.
Pour parler le langage géométrique, nous avons envisagé les fonctions d'une ligne plane; nous pourrons aussi envisager, par exemple, les fonctions d'une ligne gauche de l'espace, ou les fonctions d'une surface^ etc.
Soit, pour fixer les idées, la fonction d'une surface
sous des conditions analogues aux conditions 1 à IV du Chapitre précédent (n" 2), on définira une dérivée première
dépendant de deux paramètres ç, r^ qui individualisent le point de V. 4
5o CHAPITRE III.
la surface où l'on fail la dérivation, une dérivée seconde
F"\[z(a:,z);^,-n;trn']\
dépendant de deux couples de paramètres, et ainsi de suite. Le principe de V inversion de l'ordre de dérivation s'exprimera ainsi :
¥"\{z{x,y)-lr^:l\r;]\ = V"\[z{x,y);i\r:;lr,]\.
2. Ces concepts généraux étant posés, un grand nombre de problèmes se présentent à leur sujet. Nous avons déjà dit qu'en général, à tout problème de la théorie des fonctions oxdinaires correspondra par un passage du fini à l'infini, du discontinu au continu, un problème de notre nouvelle tbéorie.
Donnons-en un nouvel exemple : la théorie des fonctions implicites.
On sait que les relations
permettent de définir j', ,j-o, . . . , j^„ comme des fonctions impUciles de x,, x^^ . . ., x,n-, si le déterminant fonctionnel
est différent de zéro.
Le problème correspondant de la théorie des fonctions de lignes sera du type suivant: soit l'' équation
(*) Fl[/(a;), cp'o:), ^]i=0,
on se propose de déterminer f{x)^ ?(^) étant donnée.
Le problème de la résolution des équations algébriques et en particulier linéaires n'est qu'un des problèmes particuliers relatifs aux systèmes de forme (i). Il lui correspondra une classe importante de problèmes renfermés dans des équations du type (2) et en particulier la résolution des équations intégrales linéaires. Mais les équations de la forme (2) peuvent présenter une bien plus grande
ftiyuyi, ■
. .,7„, Xi, X2, .
• ., yn, ^1, X-l, ■
.., yn, xu a-,, .
THEORIE DES FONCTIONS DE LIGNES ET CALCUL DES VARIATIONS. 5l
multiplicité de types, car on peut supposer, par exemple, que F dépende d'une manière spéciale des valeurs de f{x) et de ses dérivées en certains points.
Nous consacrerons un Chapitre spécial à l'examen général de ces équations (2) et à la méthode générale de les traiter en partant toujours du passage du fini à r infini. Montrons dans ce Chapitre comment les problèmes de calcul des variations conduisent à des équations de forme (2).
